خواص جزء صحیح و حل معادلات جزء صحیح

تعریف تابع جزء صحیح (قبل از خواندن این پست حتما مرور کنید)

خواص و ویژگیهای تابع جزء صحیح

1-همیشه[math]\left[ x \right] \le x[/math] به طوری که

[math] 0 \le x – [x] < 1 [/math]

همچنین :

[math]\left[ x \right] = n \Leftrightarrow n \le x < n + 1[/math]

2- داریم که :

[math] [x] \le x < [x] + 1 [/math]

3-به ازای هر [math]x[/math] که عدد حقیقی باشد و هر [math]k[/math] که عدد صحیح است . داریم که :

[math] [x + k] = [x] + k [/math]

4-به ازای هر [math] x \in R [/math]  داریم :

[math][ – x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   { – [x]} & {x \in Z}  \\   { – [x] – 1} & {x \notin Z}  \\\end{array}} \right\} \\[/math]

5-از خاصیت بالا می توان نتیجه گرفت که :

[math][x] + [ – x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   0 & {x \in Z}  \\   { – 1} & {x \notin Z}  \\\end{array}} \right\} \\[/math]

6-رابطه آیزنشتاین که در پست جداگانه ای مورد بحث قرار گرفته است :

به ازای هر [math] x \in R,n \in Z[/math]  رابطه زیر همواره برقرار است:

[math]\left[ {2x} \right] = \left[ x \right] + \left[ {x + \frac{1}{2}} \right]\\
\left[ {3x} \right] = \left[ x \right] + \left[ {x + \frac{1}{3}} \right] + \left[ {x + \frac{2}{3}} \right]\\.\\.\\[/math]

[math] [nx] = [x] + [x + \frac{1}{n}] + [x + \frac{2}{n}] + ….. + [x + \frac{{n – 1}}{n}][/math]

7-

[math] [\frac{x}{y}] \ne \frac{{[x]}}{{[y]}}[/math]

8-

[math] [\frac{x}{n}] = [\frac{{[x]}}{n}][/math]

خوب اکنون که خواص مهم بالا را گفتیم البته باز هم خواص دیگری برای جز صحیح هست که فعلا نمی خواهیم وارد آن شویم ولی اکنون به اثبات برخی از آنها در حالتهای خاص یا عام می پردازیم .

1-رابطه زیر که یک حالت خاص از از خصوصیت 7 ذکر شده در بالا است را ثابت کنید .

یکی از خوانندگان عزیر سایت ، زحمت کشیدن و اثباتی از رابطه در حالت کلی برای ما فرستادند ،ما هم به رسم امانت به نام ایشون در ادامه پست منتشر می کنیم

فرستنده :صادق صادر مهران ،دانش آموز سال چهارم تجربي

حل معادلات جزء صحیح با استفاده از خصوصیات تابع جزء صحیح

هر معادله‌ای که در آن تابع جزء صحیح وجود داشته باشد را می‌توان یک معادله جزء صحیح به حساب آورد. بدیهی است که این معادلات می‌توانند بسیار پیچیده یا بسیار ساده باشند. به عنوان مثال، عبارات زیر همگی معادله جزء صحیح هستند:

[math]\left [ x \right ]=4\\\left [ x \right ]^{2}-x=1\\\left [ sinx + cosx \right ]=0[/math]

برای حل معادلات جزء صحیح باید با مفهوم و خواص آن آشنا باشید. مهم‌ترین ویژگی در حل معادلات جزء صحیح در مقدمه بحث گفته شد.

در معادلات جزء صحیح، برخلاف معادلات جبری دیگر، جواب ممکن است یک بازه باشد.

نکته دیگر اینست که هر عدد حقیقی را می‌توان به صورت جمع یک عدد صحیح و یک عدد اعشاری نوشت. این مسأله هم در حل مسائل جزء صحیح کمک زیادی می‌کند.

و نکته آخر اینکه همیشه در حل معادلات جزء صحیح پیچیده تغییر متغیر را هم به یاد داشته باشید. برای حل این معادلات باید خلاق بود.

مثال 1: معادله زیر را حل کنید :

الف)[math] \left[ x \right] = 2 [/math]

ب)[math] \left[ {2x – 3} \right] = 1 [/math]

پاسخ :

الف)چون گفته جزء صحیح برابر عدد 2 است پس x می تواند تمام مقادیر بین دو عدد 2و3 را اختیار کنید (طبق خاصیت 1 گفته شده در ابتدای مقاله) :

[math] \left[ x \right] = 2 \Rightarrow 2 \le x < 3 [/math]

ب)برای حل این گزینه باز (طبق خاصیت 1 گفته شده در ابتدای مقاله) می دانیم که :

[math] \left[ x \right] = n \Rightarrow n \le x < n + 1 [/math]

پس خواهیم داشت :

[math] \left[ {2x – 3} \right] = 1 \Rightarrow 1 \le 2x – 3 < 2 [/math]

برای ساده کردن نامساوی به هر دو طرف نامساوی فوق عدد 3 را اضافه می کنیم خواهیم داشت:

[math] 4 \le 2x < 5 [/math]

اکنون هر دو طرف نامساوی را بر عدد 2 تقسیم می کنیم و جواب ما بازه زیر خواهد بود :

[math] 2 \le x < \frac{5}{2} [/math]

مثال 2–معادله جز صحیح زیر را حل کنید

x]-[2x]=1]

مثال 3: مجموعه جواب معادله [math] \left[ x \right] – \left[ { – x} \right] = 5 [/math] را بدست آورید .

پاسخ :

برای حل این معادله باید از خاصیت 4 ذکر شده در ابتدای مقاله استفاده کنیم . همچنین دو حالت را باید در نظر بگیریم .حالت اول x یک عدد صحیح است و حالت دوم x صحیح نیست

حالت اول x صحیح است :

می دانیم که اگر x صحیح باشد پس جزء صحیحش با خودش برابر است یعنی :

[math]x \in Z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ x \right] = x\\\left[ { – x} \right] =  – x\end{array} \right\}[/math]

پس با این حساب معادله ما بصورت زیر خواهد شد :

[math]x \in Z \Rightarrow \left[ x \right] – \left[ { – x} \right] = x – ( – x) = x + x = 5\\2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}[/math]

اما جواب بدست آمده قابل قبول نیست چون [math] \frac{5}{2} \notin Z [/math]

 

حالت اول x صحیح نیست :

اینجا از خاصیت 4 ذکر شده در بالا استفاده می کنیم :

[math]x \notin Z \Rightarrow \left[ x \right] – \left[ { – x} \right] = \left[ x \right] – (1 – \left[ x \right]) = \left[ x \right] + 1 + \left[ x \right] = 5\\2\left[ x \right] = 4 \Rightarrow \left[ x \right] = 2[/math]

طبق خواص جزء صحیح جواب بازه زیر خواهد بود :

[math] \left[ x \right] = 2 \Rightarrow 2 \le x < 3 [/math]

مثال 4:معادله [math] \left[ {{x^2} – 1} \right] = 3 [/math] را حل کنید.

پاسخ :

[math] \left[ {{x^2} – 1} \right] = 3 \Rightarrow 3 \le {x^2} – 1 < 4[/math]

به هر دو طرف نامساوی عدد مثبت 1 را اضافه می کنیم :

[math]4 \le {x^2} < 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 4 \Rightarrow x \ge 2(OR)x \le  – 2\\{x^2} < 5 \Rightarrow  – \sqrt 5  < x < \sqrt 5\end{array} \right\}[/math]

جواب ما اجتماع بازه های بدست آمده می باشد:

[math] ( – \sqrt 5 , – 2] \cup [2,\sqrt 5 ) [/math]

مثال 5:مجموعه جواب معادله

[math] \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ {x + \frac{5}{2}} \right] = 4 [/math]

را بدست آورید .

پاسخ :

ابتدا عبارت زیر را ساده می کنیم :

[math] \left[ {x + \frac{5}{2}} \right] = \left[ {x + \frac{1}{2} + 2} \right] [/math]

خاصیت شماره 3 ذکر شده در بالا را استفاده می کنیم :

[math] \left[ {x + \frac{1}{2} + 2} \right] = \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + 2 [/math]

اکنون این عبارت بدست آمده را در معادله اصلی قرار می دهیم و معادله بصورت زیر خواهد شد:

[math]\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ {x + \frac{5}{2}} \right] = 4 \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + 2 = 4\\2\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 2 \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 1\\[/math]

اکنون طبق خاصیت شماره 1 جزء صحیح داریم :

[math]\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ {x + \frac{5}{2}} \right] = 4 \Rightarrow \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + \left[ {x + \frac{1}{2}} \right] + 2 = 4\\\left[ {x + \frac{1}{2}} \right] = 1 \Rightarrow 1 \le x + \frac{1}{2} < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \le x < \frac{3}{2}[/math]

مثال 6: معادله [math] {x^2} = \left[ {x + 5} \right] + \left[ { – x} \right] [/math] چند ریشه دارد.

پاسخ :

اینجا در دو حالت در نظر می گیریم . حالت اول x صحیح است و حالت دوم x صحیح نیست .

می دانیم که طبق خاصیت شماره 3

[math] \left[ {x + 5} \right] = \left[ x \right] + 5 [/math]

پس معادله ما بصورت زیر خواهد بود:

[math] {x^2} = \left[ x \right] + 5 + \left[ { – x} \right] [/math]

حالت اول x صحیح است :

طبق خاصیت شماره 5 داریم

[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \left[ x \right] + 5 + \left[ { – x} \right]\\x \in Z \Rightarrow \left[ x \right] + \left[ { – x} \right] = 0\end{array} \right\} \to {x^2} = 5 \Rightarrow x =  \pm \sqrt 5  \notin Z[/math]

این جواب غیر قابل قبول است .اکنون حالت دوم را بررسی می کنیم که x عدد صحیح نیست باز طبق خاصیت شماره 5 :

[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \left[ x \right] + 5 + \left[ { – x} \right]\\x \notin R – Z \Rightarrow \left[ x \right] + \left[ { – x} \right] =  – 1\end{array} \right\} \to {x^2} = 4 \Rightarrow x =  \pm 2 \notin R – Z[/math]

پس این معادله ریشه ندارد.

مثال7: معادله [math] \left [ x^{2}-x \right ]+4 \left [ x \right ]=13+12 \left [ sinx \right ] [/math]

را حل کنید.

 

می‌دانیم که خروجی جزء صحیح همواره عددی صحیح است. پس سه عدد صحیح a,b,c را فرض می‌کنیم  در واقع اینجا با استفاده از تغییر متیغیر معادله را حل می کنیم به طوری که:

[math]\left [ x^{2}-x \right ]=a4 \left [ x \right ]=b\left [ sinx \right ]=c[/math]

پس معادله به صورت زیر در می‌آید:

 

[math]8a+4b=13+12c \rightarrow 2a+b-3c=\frac{13}{4}[/math]

 

طرف راست معادله بالا ترکیب خطی تعدادی عدد صحیح است و طرف چپ یک عدد اعشاری. پس این معادله جواب ندارد.

 

مثال 8:معادله [math] \left[ {x + 2} \right] + \left[ {x – 5} \right] = 3 [/math]  را حل کنید .

پاسخ :

ابتدا از خاصیت شماره 3 استفاده می کنیم :

[math]\left[ {x + 2} \right] + \left[ {x – 5} \right] = 3\\\left[ x \right] + 2 + \left[ x \right] + 5 = 3 \Rightarrow 2\left[ x \right] = 6 \Rightarrow \left[ x \right] = 3 \Rightarrow \\3 \le x < 4[/math]

مثال 9:معادله  [math] \sin x – \left[ {\sin x} \right] = \left[ x \right] – 1 [/math] را حل کنید.

پاسخ :

با توجه به اینکه [math] \sin x = \left[ {\sin x} \right] + \left[ x \right] – 1 [/math] و هر سه عبارت [math] \left[ {\sin x} \right],\left[ x \right], – 1 [/math] اعدادی صحیح هستند،پس جمه آنها که برابر sinx شده هم باید عددی صحیح باشد پس داریم که sinx عددی صحیح است ولذا جزء صحیح آن هم عددی صحیح است :

[math] \sin x \in Z \Rightarrow \left[ {\sin x} \right] = \sin x \Rightarrow \left[ {\sin x} \right] – \sin x = 0[/math]

پس اکنون در معادله [math] \sin x – \left[ {\sin x} \right] = \left[ x \right] – 1 [/math] می توانیم به جای [math] \sin x – \left[ {\sin x} \right] [/math] صفر قرار دهیم و معادله بصورت زیر خواهد شد.

[math] \left[ x \right] – 1 = 0 \Rightarrow \left[ x \right] = 1 \Rightarrow 1 \le x < 2 [/math]

در فاصله [math] 1 \le x < 2 [/math] تنها برای [math] x = \frac{\pi }{2} [/math] داریم که

[math] \sin x = 1 \in z [/math]

بنابر این تنها جواب معادله  [math] x = \frac{\pi }{2} [/math]  است.

 

مثال 10:معادله [math] \left[ {\frac{x}{4}} \right] = \frac{x}{3} [/math] چند ریشه دارد.

پاسخ:

برای حل اینگونه معادلات می دانیم که جواب جزء صحیح باید یک عدد صحیح باشد پس :

[math] \frac{x}{3} = k \Rightarrow x = 3k,k \in Z [/math]

اکنون مساله را بر حسب k حل می کنیم :

[math]\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\frac{x}{4}} \right] = \frac{x}{3}\\\frac{x}{3} = k\end{array} \right\} \to \left[ {\frac{{3k}}{4}} \right] = k \Rightarrow k \le \frac{{3k}}{4} < k + 1[/math]

اکنون این نامساوی بدست آمده را به دو قسمت تقسیم می کنیم و حدود k را بدست می اوریم .

[math]k \le \frac{{3k}}{4} < k + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3k}}{4} < k + 1 \to 3k < 4x + 4 \to k >  – 4\\k \le \frac{{3k}}{4} \to 4k \le 3 \to k \le 0\end{array} \right\}[/math]

یعنی k می تواند اعداد صحیح [math](-4,0][/math] را اختیار کند

[math]x = 3k\\k = 0 \Rightarrow x = 0\\k =  – 1 \Rightarrow x =  – 3\\k =  – 2 \Rightarrow x =  – 6\\k =  – 3 \Rightarrow x =  – 9[/math]

بنابر این معادله 4 جواب دارد.