حل نامعادله با تعیین علامت
نامعادله یک متغیره درجه اول پس از انتقال همه جمله ها به یک طرف و ساده کردن آن ، به یکی از صورتهای زیر خواهد بود:
[math]ax + b < 0\\ax + b \le 0\\ax + b >0 \\ax + b \ge 0\\[/math]
ما از نوشته های قبل در مورد نابرابری و نامساویها و همچنین نامعادله توضیح دادیم ، در این بخش میخواهیم این مطلب را از دیدگاه معادله و تعیین علامت بررسی کنیم .
اگر مطالب گذشته را فراموش کرده اید می توانید از لینک بالا مطالعه کنید و یاد بگیرید ، پس ما با فرض آشنا بودن شما با نامعادلات ، مطلب را ادامه می دهیم و حل نامعادله را با استفاده از تعیین علامت آموزش می دهیم. روشهای مختلفی برای نامعادله ها وجود دارد. یکی از این روشها ،حل نامعادله درجه یک با استفاده از تعیین علامت است.
حل نامعادله درجه یک با استفاده از تعیین علامت
برای این کار ما باید مراحل زیر را به ترتیب انجام دهیم :
1-ابتدا همه جمله ها را به یک طرف می بریم تا نامعادله ما بصورت [math]ax+b>0[/math] و یا بصورت [math]ax+b<0[/math] و یا بطور لی بصورت یکی از چهار حالت بالا که گفتیم، شود.
2-ریشه [math]ax+b=0[/math] را بدست می آوریم.
3-عبارت [math]ax+b[/math] را تعیین علامت می کنیم.
4-با توجه به [math]ax+b>0[/math] و یا [math]ax+b<0[/math] مقادیر مناسب [math]x[/math] را بدست می آوریم.
مثال 1:نامعادله [math] 5x – 1 \ge 3x – 7[/math] را حل کنید.
مطابق مراحل بالا عمل می کنیم،ابتدا همه جمله ها را به یک طرف می بریم.
[math] 5x – 1 – 3x + 7 \ge 0 \Rightarrow 2x + 6 \ge 0[/math]
مرحله دوم :اکنون ریشه [math]2x+6=0[/math] را بدست می آوریم .
[math] 2x + 6 = 0 \to 2x = – 6 \to x = – 3[/math]
مرحله سوم :تعیین علامت می کنیم
با توجه به جدول جاهایی که مقادیر نامعادله مثبت می شود مجموعه جواب ما است پس در واقع اینجا مجموعه جواب ما [math] x \ge 3[/math] است.چون نامعادله [math]2x+6>0[/math] باید باشد.پس هر جا که برابر صفر و بزرگتر از صفر باشد آن محدوده مجموعه جواب نامعادله ما است.
مثال 2:نامعادله [math] \frac{{4 – 2x}}{{3x + 1}} \ge 0[/math] را حل کنید.
در واقع ما اینجا ترکیبی از دو نامعادله [math] 4 – 2x \ge 0,3x + 1 \ge 0[/math] را داریم.پس هر کدام را جداگانه تعیین علامت می کنیم و سپس در جدولی با هم ترکیب می کنیم.
[math]4 – 2x = 0 \to 4 = 2x \to x = 2\\3x + 1 = 0 \to 3x = – 1 \to x = – \frac{1}{3}\\[/math]
اکنون در جدولی آنها را با هم تعیین علامت می کنیم .یادتون باشه که ریشه ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ می نویسیم :
پس چون باید نامساوی ما مثبت و بزرگتر از صفر باشد پس همانطور که در جدول بالا می بینید فاصله بین 2تا منفی یک سوم به زبان ریاضی [math] – \frac{1}{3} < x \le 2[/math] مجوعه جواب ما است.
تا اینجا نشان دادیم که چگونه با استفاده از تعیین علامت می توان ،جواب نامعادله را بدست آورد .البته ما بدون تعیین علامت هم می توانیم مجموعه جواب را بدست اوریم. یکی از این حالتها نامعادله درجه یک دوگانه است.
حل نامعادله درجه یک دوگانه :
گاهی به نامعادله هایی برخورد می کنیم که در دو شرط قرار گرفته اند مانند :
[math] d \le ax + b \le c[/math]
این فرم نامعادله را نامعادله دوگانه می گوییم و بصورت دستگاه زیر :
[math]\left\{ \begin{array}{l}ax + b \le c\\ax + b \ge d\end{array} \right\}[/math]
حل می کنیم.مجموعه جواب این دو نامعادله فوق از اشتراک جواب هر دو نامعادله بدست می آید.
مثال :نامعادله [math] – 2 \le 3x – 1 \le 8[/math] را حل کنید.
ابتدا آن را بصورت دستگاه زیر می نویسیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}3x – 1 \le 8\\3x – 1 \ge – 2\end{array} \right\}[/math]
هر کدام از نامعادله ها را جداگانه حل می کنیم
[math]3x – 1 \le 8 \to 3x \le 9 \to x \le 3\\\\3x – 1 \ge – 2 \to 3x \ge – 1 \to x \ge – \frac{1}{3}[/math]
شکل بالا مجموعه جواب هر کدام از نامعادله ها را بصورت جواگانه نشان می دهد ، اکنون می دانیم که فقط قسمت مشترک باید مجموعه جواب باشد پس :
مجموعه جواب ما [math] – \frac{1}{3} \le x \le 3[/math] است.