حل معادله درجه دوم به روش ریشه گیری و مربع کامل
1-روش ریشه گیری :اگر در معادله درجه دوم [math] a{x^2} + bx + c = 0[/math] ، مقدار b برابر صفر باشد یعنی معادله به فرم [math] a{x^2} + c = 0[/math] باشد و همچنین a,c متحد العلامه نباشند ، یعنی مثلا یکیشون منفی و دیگری مثبت باشد آنگاه می توانیم با روش ریشه گیری معادله را حل کنیم در واقع بصورت زیر خواهیم داشت که :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + c = 0 \\ac < 0 \\\end{array} \right\} \to a{x^2} = c \to {x^2} = – \frac{c}{a} \to x = \pm \sqrt { – \frac{c}{a}} \\[/math]
دقت کنید در تساوی بالا چون a,c متحد العلامه نیستند برای همین زیر رادیکال منفی نخواهد شد ، چون ممکن است منفی عدد c یا منفی عدد a در منفی موجود زیر رادیکال ضرب خواهد شد و نتیجه زیر رادیکال مثبت خواهد شد.
یک روش دیگر به این صورت است که باید بتوانیم معادله درجه دوم را به یک اتحاد مربع تبدیل کنیم که برابر صفر یا برابر یک مربع دیگر باشد و سپس از هر دو طرف جذر می گیریم در واقع هر گاه [math]a[/math] یک عدد حقیقی مثبت باشد ، ریشه های معادله درجه دوم [math] {x^2} = a[/math] عبارتند از :
[math]{x^2} = a \to \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt a \\x = – \sqrt a \\\end{array} \right\} \\[/math]
من این مطلب را با چند مثال توضیح می دهم :
[math] 1){(4x + 1)^2} – 25 = 0[/math]
خوب در مثال بالا ما توان هایی از 2 داریم و می دانیم که 25 یعنی 5 به توان 2 است پس :
[math]{(4x + 1)^2} – 25 = 0 \Rightarrow {(4x + 1)^2} = 25 \Rightarrow (4x + 1) = \pm \sqrt {25} = \pm 5 \\\\\left\{ \begin{array}{l}4x + 1 = 5 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \\4x + 1 = – 5 \Rightarrow 4x = – 6 \Rightarrow x = – \frac{3}{2} \\\end{array} \right\} \\[/math]
مثال دیگر ، در این مثال ما می توانیم با استفاده از تجزیه به راحتی حل کنیم ، اما چون اینجا میخواهیم روش ریشه گیری را بررسی کنیم پس سعی می کنیم از روش ریشه گیری آن را حل کنیم
[math] 2){x^2} – 6x – 7 = 0[/math]
اگر بخواهیم با استفاده از تجزیه حل کنیم به راحتی با استفاده از اتحاد جمله مشترک بصورت زیر حل خواهد شد:
[math]{x^2} – 6x – 7 = 0 \Rightarrow (x + 1)(x – 7) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0 \to x = – 1 \\x – 7 = 0 \to x = 7 \\\end{array} \right\} \\[/math]
حالا مثال بالا را با استفاده از روش ریشه گیری حل می کنیم ما باید تبدیل کنیم به مربع کامل خوب به جای عدد منفی 7 می نویسیم 9 منهای 16 و خواهیم داشت :
[math]{x^2} – 6x – 7 = 0 \Rightarrow {x^2} – 6x + 9 – 16 = 0 \\\\({x^2} – 6x + 9) – 16 = 0 \Rightarrow ({x^2} – 6x + 9) = 16 \Rightarrow {(x – 3)^2} = {4^2} \\\\x – 3 = \pm 4 \to \left\{ \begin{array}{l}x – 3 = 4 \to x = 7 \\x – 3 = – 4 \to x = – 1 \\\end{array} \right\} \\[/math]
در هر دو حالت جواب ما یکسان است .و ما روش ریشه گیری را فراگرفتیم ، در این روش حتما باید دو طرف مربع کامل باشند که بتوان با جذر گرفتن جواب معادله را حل کرد.
2-روش مربع کامل :برای معادله درجه دوم [math] a{x^2} + bx + c = 0[/math] مراحل زیر را طی می کنیم :
الف)عدد ثابت را به طرف دوم معادله می بریم :
[math] a{x^2} + bx = – c[/math]
ب)با اضافه کردن عددی مناسب به هر دو طرف تساوی ، یک مربع دو جمله ای می سازیم ،توجه کنید که در طرف دیگر معادله حتما یک عدد ثابت می ماند:
[math] a{x^2} + bx + q = – c + q[/math]
ج)در مرحله آخر از دو طرف تساوی ریشه دوم می گیریم ، در واقع این مرحله را به کمک روش ریشه گیری حل می کنیم.
با حل چند مثال این روش را آموزش می دهیم :
[math] 1){x^2} + 6x – 16 = 0 \\ [/math]
گام اول :عدد ثابت را به طرف دوم می بریم :
[math] {x^2} + 6x = 16[/math]
گام دوم : باید به هر دو طرف تساوی عددی را اضافه کنیم تا هر دو طرف مربع کامل شود ، دقت کنید اون طرفی که متغیرها هستن باید تبدیل به اتحادی بشود ، خوب x به توان 2 را داریم و حالا باید آن به فرم اتحاد مربع تبدیل کنیم یعنی اتحاد زیر :
[math] {(a + b)^2} = a + 2ab + {b^2}[/math]
در مثال بالا توان 2 را داریم پس در واقع [math]a=1[/math] یعنی جمله اول اتحاد معلوم است ، حالا باید جمله دوم اتحاد را بدست بیاریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x = 16 \\{(a + b)^2} = a + 2ab + {b^2} \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = 1 \\2ab = 6 \to 2b = 6 \\\end{array} \right\} \to b = 3 \\[/math]
پس الان اتحاد ما معلوم شد که جمله بعدی اتحاد ما باید عدد 3 باشد و چون اینجا ما 3 به توان 2 هم لازم داریم پس به هر دو طرف تساوی بالا عدد 9 را اضافه می کنیم :
[math] {x^2} + 6x + 9 = 16 + 9[/math]
اکنون تبدیل می کنیم به اتحاد
[math]{x^2} + 6x + 9 = 25 \to {(x + 3)^2} = {5^2} \to x + 3 = \pm 5 \\\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 5 \to x = 2 \\x + 3 = – 5 \to x = – 8 \\\end{array} \right\} \\[/math]
مثال بعدی :
[math] 2) – 4{x^2} + 8x – 3 = 0[/math]
گام اول :عدد ثابت را به طرف دوم می بریم :
[math] – 4{x^2} + 8x = 3[/math]
گام دوم : با اضافه کردن عددی مناسب به هر دو طرف تساوی ، یک مربع دو جمله ای می سازیم در این مثال علاوه بر این باید هر دو طرف را بر منفی 4 تقسیم کنیم .
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x = – \frac{3}{4} \\{(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = 1 \\2ab = – 2 \to b = – 1 \\\end{array} \right\} \\\\{x^2} – 2x + 1 = – \frac{3}{4} + 1 \to {(x – 1)^2} = \frac{1}{4} = {(\frac{1}{2})^2} \\\\x – 1 = \pm \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = \frac{1}{2} \to x = \frac{3}{2} \\x – 1 = – \frac{1}{2} \to x = \frac{1}{2} \\\end{array} \right\} \\[/math]
چند نکته مهم :
1-اگر بعد از ساختن مربع کامل ، عدد ثابتی که در طرف دیگر است مثبت بود ، معادله دو جواب دارد.
2-اگر بعد از ساختن مربع کامل ، عدد ثابتی که در طرف دیگر است صفر بود ، معادله یک جواب دارد.
3-اگر بعد از ساختن مربع کامل ، عدد ثابتی که در طرف دیگر است منفی بود ، معادله جواب ندارد.
