حد راست و حد چپ تابع
حد راست و حد چپ تابع
حدی که تاکنون مورد مطالعه قرار دادیم حالت کلی حد بود ، اما ممکن است ما با توابعی مواجه شویم که حد آن تابع در آن نقطه موجود نباشد اما در اطراف آن نقطه مثلا از سمت راست یا سمت چپ این حد موجود باشد .مثلا به تابع زیر دقت کنید
[math] H(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{t < 0}\\1&{t \ge 0}\end{array}} \right\} [/math]
حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} H(t) [/math] چگونه است ؟
اگر ما به تابع فوق دقت کنیم ، ما نمی توانیم حد تابع فوق را براحتی و با همان حالت عادی در نقطه صفر بدست آوریم ، بلکه باید حد این تابع را بر اساس ضابطه هایی دیگر و از سمت و سویی دیگر محاسبه کنیم . اینجاست که ما اهمیت و ضرورت حد راست و حد چپ توابع را متوجه می شویم.اما ای حد چپ و راست چیست و چه مفهومی دارد ؟
همچنین در پست قبلی ((مفهوم ریاضی حد)) یک مثالی را مطرح کردیم به این صورت که تابع [math] f(x) = \sqrt {2 – x} [/math] در نقطه [math]x=2[/math] حد ندارد. چون در همسایگی راست یعنی بزرگتر از 2 تعریف نشده است .ولی با توجه به دامنه [math] {D_f} = ( – \infty ,2] [/math] رفتار تابع در همسایگی سمت چپ [math]x=2[/math] را می توانستیم بررسی کنیم.
. اینجاست که ما اهمیت و ضرورت حد راست و حد چپ توابع را متوجه می شویم.یعنی گاهی لازم است رفتار تابع را وقتی متغیرx با مقادیری بزرگتر از عدد داده شده یا کوچکتر از عدد داده شده بررسی کنیم .
مثال 1: نمودار تابع
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – x + 3}&{x > 2}\\{{x^2}}&{x < 2}\end{array}} \right\} [/math]
به صورت زیر داده شده است :
الف)همانطور که می بینید اگر متغیر x با مقادیر بزرگتر از 2 به سمت عدد 2 نزدیک شود آنگاه مقدار [math]f(x)[/math] به سمت عدد 1 نزدیک می شود.
ب)اگر x با مقادیر کوچکتر از 2 به عدد 2 نزدیک شود آنگاه مقدار [math]f(x)[/math] به عدد 4 نزدیک می شود.
پ)این تابع حد ندارد چرا؟ چون این تابع در همسایگی چپ و راست رفتاری متفاوت دارد و مقدار این تابع در همسایگی چپ و راست با هم برابر نیست .یعنی این تابع در همسایگی محذوف نقطه 2 به مقدار یکسان نزدیک نمی شود بلکه از هر جهت به یک مقدار نزدیک می شود .
تعریف حد چپ و راست
فرض کنید a يك نقطه مشخص برروی محور باشد فاصله های اطراف این نقطه را می توان بصورت زیر نمایش داد .
تابع ما در اطراف این نقطه a تعريف شده است .دقت کنید این نقطه بتا یک نقطه بسیار نزدیک به a است .
حد راست: با توجه به شکل زیر وقتی می گوییم حد راست تابع در نقطه a یعنی ما از سمت راست که در واقع بزرگتر از a هست به سمت مقدار a نزدیک می شویم مانند شکل زیر :
در واقع ما در حد راست اشاره می کنیم به x هايي كه بصورت [math] x>a [/math]هستند.
به زبان ریاضی :
اگر تابع f در یک همسایگی راست نقطه ای مانند a تعریف شده باشد می گوییم حد راست تابع f در نقطه [math]x=a[/math] برابر [math] {L_1} [/math] است هر گاه مقادیر تابع f را به اندازه دلخواه بتوان به [math] {L_1} [/math] نزدیک کرد به شرط آنکه متغیر x از سمت راست به قدر کافی به a نزدیک شود و در این صورت می نویسیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = {L_1} [/math]
حد چپ: با توجه به شکل زیر وقتی می گوییم حد چپ تابع در نقطه a یعنی ما از سمت چپ که در واقع کوچکتر از a هست به سمت مقدار a نزدیک می شویم مانند شکل زیر :
در واقع ما در حد چپ اشاره می کنیم به x هايي كه بصورت [math] x<a [/math] هستند
به زبان ریاضی :
اگر تابع f در یک همسایگی راست نقطه ای مانند a تعریف شده باشد می گوییم حد چپ تابع f در نقطه [math]x=a[/math] برابر [math] {L_2} [/math] است هر گاه مقادیر تابع f را به اندازه دلخواه بتوان به [math] {L_2} [/math] نزدیک کرد به شرط آنکه متغیر x از سمت چپ به قدر کافی به a نزدیک شود و در این صورت می نویسیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = {L_2} [/math]
شرط وجود حد
حد تابع f در نقطه [math]x=a[/math] وجود دارد اگر و تنها اگر حد چپ و راست تابع f در [math]x=a[/math] موجود و با هم برابر باشند.یعنی رابطه زیر باید برقرار باشد تا بگوییم تابع حد دارد.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = L [/math]
یعنی :
اگر حد چپ و راست f در نقطه [math]x=a[/math] ، دو مقدار متمایز باشند آنگاه تابع f در نقطه [math]x=a[/math] حد ندارد .
در شکل a تشبیه کننده حد راست است وقتی که [math] x \to {c^ + } [/math] در واقع نقاط [math]x>c[/math] را نشان می دهد که در شکل بالا این ناحیه به شکل آبی رنگ نشان داده شده است. در واقع نقاط همسایگی راست C را نمایش داده ایم.
در شکل b تشبیه کننده حد چپ است وقتی که [math] x \to {c^ – } [/math] در واقع نقاط [math]x<c[/math] را نشان می دهد که در شکل بالا این ناحیه به شکل آبی رنگ نشان داده شده است. در واقع نقاط همسایگی چپ C را نمایش داده ایم.
مثال 1:
در شکل a همانطور که از نمودار می بینید حد چپ و راست برابر شده است پس این تابع حد دارد اما
در شکل b حد چپ برابر L و حد راست برابر R شده که برابر نیستند پس این تابع حد ندارد .چون حد چپ و راست برابر نیستند .
مثال 2 :حد تابع چند ضابطه ای زیر را در x=2 را بدست اورید .
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 1}&{}&{x < 2}\\1&{}&{x = 2}\\{x – 2}&{}&{x > 2}\end{array}} \right\} [/math]
نمودار این تابع به صورت زیر است :
برای محاسبه حد چپ تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) [/math] یعنی باید ببینیم ضابطه تابع به ازای [math]x<2[/math] را در نظر بگیریم .که اینجا [math]2x-1[/math] خواهد بود پس حد چپ تابع
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} (2x – 1) = 3 [/math]
برای محاسبه حد راست تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) [/math] یعنی باید ببینیم ضابطه تابع به ازای [math]x>2[/math] را در نظر بگیریم .که اینجا [math]x-2[/math] خواهد بود پس حد راست تابع
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x – 2) = 0 [/math]
چون حد چپ و راست تابع برابر نیست پس این تابع حد ندارد.
مثال 3: نمودار تابع [math]f(x)=[x][/math] را در بازه [math][-1,2][/math] را رسم کنید.
1-اگر x از طرف چپ به عدد 1 نزدیک شود ،آنگاه مقادیر f(x) طبق نمودار به عدد صفر نزدیک می شود یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 0 [/math]
2- حد راست تابع در نقطه [math]x=1[/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 1 [/math]
حد چپ و راست در نقطه [math]x=1[/math] برابر نیست پس در نقطه [math]x=1[/math]حد ندارد.
یکی از مهمترین جاهایی که حد چپ وراست کاربرد دارد ، در لینکهای زیر توضیح داده ایم توصیه می کنیم حتما مطالعه کنید:
تمرینات بخش حد چپ و راست و محاسبه حد با استفاده از نمودارها
حالاتی که مجبور هستیم در محاسبه حد از حد چپ و راست استفاده کنیم +فیلم
سلام
با تشکر از این همه توضیحات کامل و جامع .
خدایی کلی کارم رو راه انداخت .
بازم ممنون
موفق باشید
سلام
ممنون از مطالب خوبتون
اگر یک مثال از تابع تکه ای پیوسته هم میزدید عالی میشد