حد توابع-روشهای حد گیری در بی نهایت
در بخش قبل بحث اشاره کردیم که حد در بی نهایت به چه معناست ،الان در این بخش می خواهیم به چند روش و نکته محاسبه حد در بی نهایت اشاره کنیم .قبل از هر چیز باز هم شما را ارجاع می دهیم به پست قبلی و نگاهی داشته باشید به مفهوم صفر حدی و کاربرهای آن در محاسبه حد در بی نهایت .
برای روشهای حد گیری باید قضایای حد گیری را فرا بگیریم .
تاکنون در بخشهای قبلی یاد گرفتیم که :
[math] \frac{1}{{ \pm \infty }} = 0 [/math] | [math] \frac{1}{0} = \pm \infty [/math] |
همچنین به طور تفکیکی یاد گرفتیم که :
[math] \frac{1}{{{0^ – }}} = – \infty [/math] | [math] \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty [/math] |
اما در مورد بی نهایت در مخرج عبارت همیشه برابر صفر است مانند زیر : | |
[math] \frac{1}{{ – \infty }} = 0 [/math] | [math] \frac{1}{{ + \infty }} = 0 [/math] |
علاوه بر این اولین قضیه را در ساده ترین حالت به صورت زیر یاد گرفتیم که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{x} = \frac{1}{{ – \infty }} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = \frac{1}{{ + \infty }} = 0\\ [/math]
از قضیه بالا می توان نتیجه گرفت که :
قضیه 1:اگر a عددی حقیقی باشد آنگاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{a}{{{x }}} = 0 [/math]
هر عددی که در صورت کسر باشد ، اگر مخرج بی نهایت شود آنگاه حاصل حد ما صفر خواهد شد.
قضیه 2: اگر n عددی طبیعی باشد آنگاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^n} = \infty [/math]
پس با توجه به قضیه 2 خواهیم داشت :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^n}}} = \frac{1}{\infty } = 0 [/math]
و در نتیجه :
قضیه 3: اگر a عددی حقیقی و n عددی طبیعی باشد آنگاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{a}{{{x^n}}} = 0 [/math]
مثال 1: حد های زیر را حساب کنید .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ – 5}}{{2{x^3}}} = \frac{{ – 5}}{{2 \times ( \pm \infty )}} = \frac{{ – 5}}{{ \pm \infty }} = \frac{{ – 5}}{\infty } = 0 [/math]
در حد بالا فرقی چون در مخرج دارای توان فرد 3 هستیم پس مخرج ما می تواند هر کدام از علامتهای بی نهایت را بگیرد و از طرف دیگر بی نهایت ضرب در عدد ، نتیجه بی نهایت می شود . و سرانجام تقسیم عدد منفی 5 بر بی نهایت حاصل را صفر می کند .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\sqrt 2 }}{{{x^2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{{{( \pm \infty )}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{ + \infty }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{ + \infty }} = 0 [/math]
قضیه 4: اگر [math] {L_1},{L_2} [/math] اعداد حقیقی و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {L_1},\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = {L_2} [/math] آنگاه:
نکته : قضیه فوق وقتی x به سمت [math] – \infty [/math] میل می کند نیز برقرار است.
یک پیشنهاد : بهترین روش برای حل مسائل حد وقتی که [math] x \to – \infty [/math] یا وقتی که [math] x \to + \infty [/math] استفاده از قضایای 1و2و3 است .برای این کار از بزرگتریم توانهای x فاکتور می گیریم.
مثال2: حدود زیر را حساب کنید.
[math] a)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } 5{x^4} + 3{x^2} + 2 [/math]
برای حل این عبارت ابتدا از بزرگترین درجه x فاکتور می گیریم و عبارت به صورت زیر خواهد شد:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^4}(5{x^4} + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^4} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (5{x^4} + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}})\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^4} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (5) + \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{3}{{{x^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{2}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^4} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (5) + 0 + 0 = \\{( – \infty )^4} \times 5 = + \infty \times 5 = + \infty [/math]
تمرین بعدی نکات جالبی دارد که باید به آن دقت کنید:
[math] \mathop {c)\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} }}{{3x + 1}} [/math]
صورت این کسر را می توان به صورت زیر نوشت :
[math] \sqrt {4{x^2} + 2} = \sqrt {{x^2}(4 + \frac{2}{{{x^2}}})} = |x|\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} [/math]
پس با توجه به محاسبات بالا کسر ما به صورت زیر خواهد شد:
[math] \frac{{|x|\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x(3 + \frac{1}{x})}} = \frac{{|x|}}{x}\frac{{\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{(3 + \frac{1}{x})}} [/math]
دقت کنید چون عبارت ما دارای قدر مطلق است پس باید حدهای مثبت بی نهایت و منفی بی نهایت را جداگانه حساب کنیم:
وقتی x به سمت مثبت بی نهایت میل می کند :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{|x|}}{x}.\frac{{\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{(3 + \frac{1}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{x}.\frac{{\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{3 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt {4 + \frac{2}{{ + \infty }}} }}{{3 + \frac{1}{{ + \infty }}}} = \frac{{\sqrt {4 + 0} }}{{3 + 0}} = \frac{{\sqrt 4 }}{3} = \frac{2}{3} [/math]
وقتی x به سمت منفی بی نهایت میل می کند :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{|x|}}{x}.\frac{{\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{(3 + \frac{1}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – x}}{x}.\frac{{\sqrt {4 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{3 + \frac{1}{x}}} = \frac{{ – \sqrt {4 + \frac{2}{{ + \infty }}} }}{{3 + \frac{1}{{ + \infty }}}} = \frac{{ – \sqrt {4 + 0} }}{{3 + 0}} = \frac{{ – \sqrt 4 }}{3} = – \frac{2}{3} [/math]
عالیه . بسیار مفهومی و کاربردی
بینهایت ممنون و سپاسگذار
ممنون استفاده مفید بردم