تمرینات و سوالات امتحانی بخش تابع قدر مطلق
تمرینات و سوالات امتحانی بخش تابع قدر مطلق
1-نامعادله قدر مطلقی [math]|2x-1|<1[/math] را حل کنید .(امتحان نهایی حسابان-دی ماه 92) جواب : طبق خاصیت [math] |x| < a \Rightarrow – a < x < a [/math] خواهیم داشت که :
[math]- 1 < 2x – 1 < 1 \Rightarrow 0 < 2x < 2 \to 0 < x < 1[/math]
2-به کمک تعیین علامت عبارت داخل قدر مطلق ، ضابطه [math]f(x)=x|x-2|[/math] را بدون استفاده از قدر مطلق بنویسید .(امتحان نهایی حسابان –دی ماه 90) جواب : ابتدا ریشه داخل قدر مطلق را حساب می کنیم و جدول تعیین علامت را بدست می آوریم
[math] x – 2 = 0 \to x = 2[/math]
[math]f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2 \to {x^2} – 2x \\x < 2 \to – {x^2} + 2x \\\end{array} \right\}[/math]
3-معادله [math]||x|-2|=3[/math] را حل کنید .( امتحان نهایی حسابان –شهریور 93) جواب :
[math]1)|x| – 2 = 3 \to |x| = 5 \to x = \pm 5 \\2)|x| – 2 = – 3 \to |x| = – 1 \\[/math]
حالت دوم غیر ممکن است چون عبارت داخل قدر مطلق هیچ وقت نمی تواند برابر منفی باشد. 4-جواب معادله زیر را بدست آورید .
[math] |{x^2} – 3x + 2| = |x – 1|[/math]
جواب :
[math]|{x^2} – 3x + 2| = |x – 1| \Rightarrow |(x – 1)(x – 2)| = |x – 1| \\|x – 1||x – 2| = |x – 1| \Rightarrow |x – 1|(|x – 2| – 1) = 0 \\\left\{ \begin{array}{l}|x – 1| = 0 \to x – 1 = 0 \to x = 1 \\|x – 2| = 1 \to x – 2 = \pm 1 \to \{ \begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {x = 1} \\\end{array} \\\end{array} \right\} \\[/math]
5-نامعادله قدر مطلقی زیر را حل کنید
[math]|\frac{2}{{3x + 1}}| > \frac{1}{2}[/math]
جواب :
[math]|\frac{2}{{3x + 1}}| > \frac{1}{2} \to \frac{{|2|}}{{|3x + 1|}} > \frac{1}{2} \to \frac{2}{{|3x + 1|}} > \frac{1}{2}[/math]
طرفین نامساوی را معکوس می کنیم چون طرفین مثبت است پس جهت نامساوی عوض می شود.
[math]\frac{{|3x + 1|}}{2} < 2 \to |3x + 1| < 4 \to – 4 < 3x + 1 < 4 \\- 5 < 3x < 3 \to \frac{{ – 5}}{3} < x < \frac{3}{3} \to \frac{{ – 5}}{3} < x < 1[/math]
6-مجموعه جواب معادله [math] |3{x^2} + 2x| = x|3x + 2| [/math] را بدست آورید . جواب :
[math]|3{x^2} + 2x| = x|3x + 2| \\|x|.|3x + 2| = x|3x + 2| \\|3x + 2|(|x| – x) = 0 \\\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 0 \to x = \frac{{ – 2}}{3} \\|x| – x = 0 \to x = |x| \to [0, + \infty ) \\\end{array} \right\} \Rightarrow [0, + \infty ) \cup \{ – \frac{2}{3}\}[/math]