تمرینات و سوالات امتحاتی بخش دامنه توابع

قبل از مطالعه تمرینات پست آموزش دامنه و برد تابع را مطالعه کنید

سوال  1:

[math] f(x) = \log (\sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} )[/math]

طبق فرمولهای دامنه می دانیم که عبارت لگاریتمی باید بزرگتر از صفر باشد در نتیجه

[math] \sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x}  > 0[/math]

 

در عبارت بالا  جمع هر دو رایکال باید بزرگتر ازصفر باشد یعنی حاصل هر رادیکالی باید بزرگتر از صفر شود علاوه بر این دو تابع با هم و هم زمان نمی توانند صفر شوند اما هر کدام بطور جداگانه می تواند صفر شود پس داریم :

[math]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x – 1}  \ge 0 \\ \sqrt {2 – x}  \ge 0 \\ \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} x – 1 \ge 0 \\ 2 – x \ge  \\ \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ 2 \ge x \\ \end{array} \right\} \to 1 \le x \le 2 \\[/math]

سوال 2:(سوال امتحانی درس حسابان سال 81 رشته ریاضی)

[math] f(x) = \frac{{5x}}{{|x – 3| – 2}} [/math]

تابع ما یک تابع کسری است لذا طبق فرمول دامنه توابع کسری مخرج نباید برابر صفر باشد یعنی دامنه ما تمام اعداد حقیقی منهای ریشه ها مخرج است ، پس برای اینکار باید ریشه های مخرج را بدست آوریم :

[math]|x – 3| – 2 \ne 0 \to |x – 3| \ne 2 \to \left\{ \begin{array}{l} x – 3 \ne 2 \\ x – 3 \ne  – 2 \\ \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} x \ne 5 \\ x \ne 1 \\ \end{array} \right\} \\ {D_f} = \Re  – \{ 5,1\}[/math]

سوال 3:نمونه سوال امتحانی خرداد 87 رشته ریاضی)

[math]f(x) = \frac{{\sqrt {1 – x} }}{{\left[ x \right]}} \\[/math]

در این عبارت اگر چه کسری است اما صورت کسر ما رادیکال است پس صورت کسر باید بزرگتر و مساوی صفر باشد اما مخرج نباید صفر باشد پس داریم از اشتراک دامنه صورت و مخرج ،دامنه کسر بدست می آید:

[math]\left\{ \begin{array}{l} 1 – x \ge 0 \to 1 \ge x \\ \left[ x \right] \ne 0 \to x \in \Re  – [0,1) \\ \end{array} \right\} \to D = ( – \infty ,0) \cup \{ 1\}  \\[/math]

سوال 4:

[math]f(x) = \log \log \tan x \\[/math]

تابع ما یک تابع لگاریتمی تو در تو است اما در نهایت یک تابع لگاریتمی است که در واقع لگاریتم تانژانت x است از طرف دیگر پایه این لگاریتم ذکر نشده است پس طبق قاعده پایه این لگاریتم (مبنای لگاریتم) عدد 10 است پس خواهیم داشت که :

[math]\log \tan x > 0 \to \tan x > {(10)^0} \Rightarrow \tan x > 1 \\ k\pi  + \frac{\pi }{4} < x < k\pi  + \frac{\pi }{2} \\[/math]

سوال 5:

[math]f(x) = \sqrt {x + 1 + 2\sqrt {x + 1} } [/math]

اینجا ما با تابعی روبرو هستیم که رادیکال درو رادیکالی دیگر است ،مسلما چون تابع ما رادیکالی است پس عبارتها زیر رادیکال باید نامنفی باشند یعنی بصورت زیر :

[math]\left\{ \begin{array}{l} x + 1 + 2\sqrt {x + 1}  \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\\end{array} \right\}[/math]

دقت کنید که عبارت [math]x+1[/math] وقتی نامنفی شود و دقیقا همان عبارت در رادیکال تو در تو هست پس وجه اشتراک هر دو همان نامنفی شدن (بزرگتر و مساوی صفر) بودن است پس دامنه تابع برابر با تمام اعدا بزرگتر یا مساوی منفی یک می باشد.

 

سوال 6:

[math] f(x) = \sqrt {1 – \sqrt {|x|} }  [/math]

1-ابتدا رادیکال تو در تو قدر مطلق x  را بررسی می کنیم این رادیکال طبق قاعده باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد و این یک شرط بدیهی است و تمام اعدا حقیقی در آن صدق می کنند

[math] \sqrt {|x|}  \to |x| \ge 0 \\ [/math]

2-اکنون کل عبارت رادیکال را بررسی می کنیم

[math] )\sqrt {1 – \sqrt {|x|} }  \to 1 – \sqrt {|x|}  \ge 0 \to \sqrt {|x|}  \le 1 \to |x| \le 1 \to  – 1 \le x \le 1 [/math]

پس از اشتراک شرط 1 و 2 دامنه ما بصورت زیر خواهد بود

[math] {D_f} = [ – 1,1] [/math]

سوال7:

[math] f(x) = \frac{{\sqrt {[x] + 2} }}{{[x] + [ – x]}} [/math]

1-چون زیر رادیکال هست پس باید بزرگتر و مساوی صفر باشد

[math] \sqrt {[x] + 2}  \to [x] + 2 \ge 0 \to [x] \ge  – 2 \to x \ge  – 2 [/math]

2-از تابع جز صحیح داریم که تساوی زیر برقرار است

[math][x] + [ – x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   0 & {x \in z}  \\   { – 1} & {x \notin z}  \\\end{array}} \right\} \to R – z \\[/math]

پس از اشتراک 1 و 2 می توانیم دامنه تمام اعداد حقیقی بزرگتر از منفی 2 است به شرط آنکه عدد صحیح نباشند

[math] \{ x|x \notin z,x >  – 2\} [/math]

سوال 8:

[math] f(x) = \sqrt { – {{\sin }^2}\pi [x]}  [/math]

چون زیر رادیکال است پس باید حتما بزرگتر و مساوی صفر باشد

[math]  – {\sin ^2}\pi [x] > 0 \to  [/math]

وعبارت [math]  – {\sin ^2}\pi [x] [/math]  همواره مثبت است پس فقط وقتی که برابر صفر هست را بررسی می کنیم

[math]  – {\sin ^2}\pi [x]=0 [/math]

شرط فوق همواره بر قرار است چرا که [math]  – {\sin }\pi [x]=0 [/math]  همیشه برابر صفر است. پس دامنه ما تمام اعدا حقیقی است

 

سوال9:

[math] f(x) = \sqrt {\log \frac{{5x – {x^2}}}{4}}  [/math]

1-لگاریتم باید بزرگتر از صفر باشد

[math] \frac{{5x – {x^2}}}{4} > 0 \to 5x – {x^2} > 0 \to x(5 – x) > 0 \to 0 < x < 5 [/math]

2-زیر رادیکال بزرگتر و مساوی صفر

[math]\log \frac{{5x – {x^2}}}{4} \ge 0 \to \log \frac{{5x – {x^2}}}{4} \ge \log 1 \to \frac{{5x – {x^2}}}{4} \ge 1 \to 5x – {x^2} \ge 4 \to  – {x^2} + 5x – 4 \ge 0 \\ 1 \le x \le 4 \\[/math]

سوال 10:

[math] f(x) = \sqrt {1 – \sqrt x }  + \sqrt[3]{{x + 1}} [/math]

1-در زیر رادیکال با فرجه فرد دامنه ما برابر با تمام اعداد حقیقی است

2-عبارت زیر رادیکال زوج دو بخش داریم اول خود رادیکال x  که باید بزرگتر و مساوی صفر باشد و دیگر عبارت یک منهای رادیکال x هم باید بزرگتر و مساوی صفر باشد

[math]\sqrt[3]{{x + 1}} \\ \sqrt x  \ge 0 \to x \ge 0 \\ 1 – \sqrt x  \ge 0 \to  – \sqrt x  \ge  – 1 \to \sqrt x  \le 1 \to x \le 1 \\[/math]

پس از اشتراک نتیج بالا دامنه ما [math] 0 \le x \le 1 [/math]خواهد بود

سوال 11:

[math] f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{|[x]| – 1}} [/math]

جواب باید ریشه های مخرج را بدست آوریم

[math]|[x]| – 1 = 0 \to |[x]| = 1 \to [x] =  \pm 1 \to \left\{ \begin{array}{l}[x] = 1 \to 1 \le x \prec 2 \\\left [ x \right ]=  – 1 \to  – 1 \le x \prec 0 \\ \end{array} \right\} \\{D_f} = R – \{ x|1 \le x \prec 2, – 1 \le x \prec 0\}  \\[/math]