تعیین علامت چند جمله ای درجه دوم
فرض کنید [math] a{x^2} + bx + c[/math] یک چند جمله ای درجه دوم باشد. با استفاده از دلتا می توان سه حالت برای تعیین علامت درجه دوم در نظر گرفت :
1-اگر [math] \Delta > 0[/math] در این حالت معادله ما دارای دو ریشه متمایز مانند[math] {x_1},{x_2}[/math] و با فرض اینکه [math] {x_1}<{x_2}[/math] داریم :
2-اگر [math] \Delta = 0[/math] در این حالت یک ریشه مضاعف دارد :
3-اگر [math] \Delta < 0[/math] در این حالت معادله ریشه ندارد و جدول تعیین علامت به ازای تمام مقادیر موافق علامت a خواهد بود .
اکنون برای فهم بهتر مطالب چند مثالی را با هم حل می کنیم :
مثال1: چند جمله ای [math] y = – {x^2} + x + 2[/math] را تعیین علامت کنید.
ابتدا باید دلتا و ریشه های معادله را حساب کنیم .
[math]y = – {x^2} + x + 2\\a = – 1,b = 1,c = 2\\\Delta = {b^2} – 4ac = {1^2} – 4( – 1)(2) = 1 + 8 = 9\\{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 + 3}}{{ – 2}} = – 1\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 – 3}}{{ – 2}} = 2\\[/math]
دلتا بزرگتر از صفر است و معادله دارای دوریشه متمایز است پس جدول تعیین علامت این معادله به روش حالت اول که در بالا ذکر کردیم است:
مثال2: چند جمله ای [math] y = – 3{x^2} + 6x – 3 [/math] را تعیین علامت کنید..
ابتدا باید دلتا و ریشه های معادله را حساب کنیم .
[math]a = – 3,b = 6,c = – 3\\\Delta = {b^2} – 4ac = {6^2} – 4( – 3)( – 3) = 0[/math]
چون دلتا برابر صفر است پس ریشه مضاعف داریم و از حالت دوم استفاده می کنیم.
[math]x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{6}{{ – 6}} = 1[/math]
مثال 3:عبارت [math] p(x) = \frac{{x{{(x – 3)}^2}}}{{{x^2} + x – 2}}[/math] را تعیین علامت کنید.
ابتدا باید هر یک از عبارت های موجود در صورت و مخرج را ریشه یابی کنیم و سپس تعیین علامت کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{(x – 3)^2} = 0 \to x = 3\end{array} \right\}\\\\{x^2} + x – 2 = 0\\a = 1,b = 1,c = – 2\\\Delta = {b^2} – 4ac = 1 – 4(1)( – 2) = 9\\{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 + 3}}{2} = 1\\{x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 – 3}}{2} = – 2[/math]
اکنون تک تک عبارتها را جداگانه تعیین علامت می کنیم
دقت کنید مطابق جدول بالا عبارت [math] (x – 3)^2[/math] چون دارای توان 2 است پس همواره مثبت است و هیچ وقت مقدار منفی نمی گیرد.
اکنون می رسیم به جدول معادله درجه دوم [math] {x^2} + x – 2[/math] با توجه به اینکه در این معادله دلتا بزرگتر از صفر بود پس دارای دو ریشه بود و جدول تعیین علامت آن بصورت زیر خواهد بود :
اکنون همه عبارتهای بالا را با هم در یک جدول جمع می کنیم ، ریشه ها را از سمت چپ به ترتیب از کوچک به بزرگ و بصورت صعودی مرتب می کنیم .