تعریف تابع

 به جرات می توان گفت که بخش توابع یکی از مهم ترین مباحث ریاضیات پایه است.در صورت فهم عمیق این مبحث ،می توان درک خوب و صحیح از مباحث دیفرانسیل خواهید داشت.

من قبل از ورود به مبحث اصلی توابع یک مقدمه گذرا و مختصر در مورد زوج های مرتب بیان می کنم .

زوج مرتب :دو شی که بصورت[math] \left( {a,b} \right)[/math] باشد که ترتیب آنها مهم باشد ، یعنی یکی از آنها شیء اول و دیگری شیء دوم باشد را زوج مرتب می نامیم.در اینجا:

-a  را شیئ اول یا مولفه اول و b را شیء دوم یا مولفه دوم می نامیم.

-دو زوج مرتب  [math] \left( {a,b} \right)[/math] و[math] \left( {b,a} \right)[/math] لزوما با هم برابر نیستند.

-اگر دو زوج مرتب مانند [math] \left( {a,b} \right),\left( {c,d} \right)[/math] داشته باشیم که با هم برابر باشند مولفه های آنها باید نیز با هم مساوی باشند :

[math]\left( {a,b} \right) = \left( {c,d} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = d\end{array} \right\}[/math]

نکته :هر زوج مرتب را می توان به عنوان یک نقطه در صفحه مختصات هم در نظر گرفت ، که مولفه اول آن محور xها رو نشون می دهد و مولفه دوم آن هم محور y ها

من بیشتر از این نمی خواهم وارد بحث زوج مرتب شوم ، فقط به همین مقدمه اکتفا می کنم و بعدها مبحث زوج های مرتب را در پستی جداگانه مورد بررسی قرار خواهم داد ، فقط این مقدمه ای بود برای ورود به مبحث تابع.

%;”>

یادتون نره عضو گروه تلگرام و اینستگرام ما شوید با کلی تست های تحلیل و کنکوری عالی گام به گام به شما آموزش می دهیم . رفع اشکال کنید و مشکلات ریاضی را برطرف کنید

روی هم لینک کلیک کن تا عضو گروه شوی

تابع

در اطرف ما پدیده های زیادی وجود دارند که همگی وابسته به زمان می باشند و در یک زمان مشخص دو نوع اتفاق برای هر یک نمی تواند رخ دهد. پدیده هایی مانند عمر موجودات ،دما،سرعت،انرژی ، مسافت و … از جمله چنین پدیده ها است.

مثلا

آیا شما در یک لحظه معین می توانید دوتا سن داشته باشید ؟

جواب :خیر ،چون سن شما در هر لحظه نسبت به لحظه قبل مرتب در حال افزایش است .

آیا در یک ساعت معین می توان در یک اتاق دو درجه حرارت را مشاهده کرد؟

جواب خیر ، چون ما در هر ساعت معین فقط یک دما را داریم.

برای فهم بیشتر ، این مثال را گسترده تر بررسی می کنیم.

فرض کنید که شما در یک اتاق هستید و می خواهید دمای اتاق را از ساعت 8 صبح تا ساعت 7 بعد از ظهر اندازه بگیرید.خوب از ساعت 8 صبح شروع می کنید و ساعت به ساعت دمای اتاق را در جدولی بصورت زیر می نویسید :

19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	زمان
11	12	14	15	18	17	16	15	14	13	12	10	دما

 

آیا ممکن است مثلا راس ساعت 10 دو درجه حرارت متمایز در اتاق داشته باشیم ؟

جواب :مسلما خیر.

آیا ممکن است در دو ساعت متخلف درجه حرارت مساوی داشه باشیم؟

جواب: بله

مثلا در ساعت 12 و ساعت 16 درجه حرارت مساوی است و در هر دو ساعت درجه حرارت 15 درجه است.همچنین در ساعت 9 صبح و ساعت 6 (ساعت 18) درجه حرارت مساوی است و برابر 12 درجه است.

حالا عددهای بالا را بصورت زوج مرتب می نویسیم :

[math]\{ \left( {8,10} \right),\left( {9,12} \right),\left( {10,13} \right),\left( {11,14} \right),\left( {12,15} \right),\left( {13,16} \right),\left( {14,17} \right),\left( {15,18} \right),\left( {16,15} \right),\left( {17,14} \right),\left( {18,12} \right),\left( {19,11} \right)\}[/math]

در زوج های مرتب بالا اگر دقت کنیم ، هیچ زوج مرتبی وجود ندارد که مولفه اول آن تکراری باشد ، یعنی در همه زوج های مرتب مولفه اول غیر تکراری است.

اکنو این اعداد جدول بالا را برروی محور مختصات نمایش می دهیم. اگر محور افقی را زمان در نظر بگیریم و محور عمودی (طول) را دما در نظر بگیریم نقاط تلاقی برروی نمودار بصورت زیر خواهد بود.

اکنون که بصورت نمودار نمایش دادیم می خواهیم همین نقاط را به شکلی دیگرو بصورت رابطه ای دیگر نمایش دهیم.مجموعه اول زمان ها را نشان می دهد. و مجموعه دوم درجه ها را نمایش می دهد.ارتباط بین عناصر دو مجموعه را با پیان یا فلاش نمایش می دهیم، که ابتدای هر پیکان یا فلاش عدد مربوط به ساعت و انتهای آن عدد مربوط به دمای آن ساعت می باشد.

این گونه نمایش رابطه ای بین دو مجموعه را نمودار ون می گویند.

اگر به نمودار ون دقت کنید از هر عنصر مجموعه اول فقط یک پیکان خارج شده ،اما در مجموعه دوم برای هر عنصر بیش از یک پیکان وارد شده است .

مثال بالا یک تابع بود ، اما چطور فهمیدیم که تابع است ؟ برای این سوال تعاریف تابع را از چند دیدگاه بررسی می کنیم . البته ما در مثال بالا هم بصورت جدولی و هم بصورت نمودار مختصات و هم بصورت نمودار ون بررسی کردیم ، تابع از هر کدام از این روشها قابل تشخیص است .پس:

 

1-تعریف تابع از لحاظ زوج مرتب  

یک تابع مجموعه ای از زوج مرتب است ، که در آن هیچ دو زوج مرتبی دارای مولفه اول یکسان نباشند در غیر این صورت اگر مولفه های اول یکسان باشند آنگاه مولفه های دوم هم حتما باید مساوی باشند .

مثال 1 : آیا { (3,4),(7,6),(1,2)}  این رابطه یک تابع است ؟

جواب :بله یک تابع است . چون در تمام زوجهای مرتب بالا عناصر اول منحصر به فرد هستند و یکسان نیستند

مثال 2:آیا {(1,2),(1,2),(3,4),(5,9)} این رابطه یک تابع است ؟

جواب : بله تابع است . اگر چه دارای زوج مرتب با عناصر یکسان و تکراری است ، اما عناصر دوم این زوجهای مرتب نیز مساوی هستند .

مثال 3 : آیا { (1,2),(1,4),(3,2)} این رابطه یک تابع است ؟

جواب : خیر تابع نیست . چون دو زوج مرتب دارد که مولفه های اول آنها یکسان است اما مولفه های دوم آنها  یکسان نیست .

 

2-تعریف تابع بصورت نمودار ون

هر گاه در نموداری ، A  مجموعه  اول و B  مجموعه  دوم باشد و پیکانهایی از هر عضو مجموعه A  به تنها یک عضو مجموعه B  داشته باشیم . این نمودار نمایش دهنده تابع است .

تابع نیست زیرا از محمد دوتا پیکان خارج شده است
تابع است زیرا از هر عضو مجموعه A فقط یک پیکان خارج شده است.به نعبیری دیگر به هر عضو مجموعه A فقط یک عضو از مجموعه B متناظر شده است.
تابع است زیرا از هر عضو مجموعه A فقط یک پیکان خارج شده است و به تعبیری به هر عضو از مجموعه A فقط یک عضو از مجموعه B  متناظر شده است.
تابع نیست چون از عضو c هیچ پیکانی خارج نشده است یا به تعبیری هیچ عضوی از مجموعهB به عضو c نسبت داده نشده است.
تابع است ، از تمام عناصر مجموعه اول ، پیکانهایی خارج شده است یا به تعبیری به هر عنصر مجموعه اول یک عنصر از مجموعه دوم متناظر شده است.

مهمترین مساله در نمودار ون مجموعه اول است که

1-از همه عناصر آن باید فقط یک پیکان خارج شده باشد.

2-حتما از همه عنصر مجموعه اول پیکان خارج شود در غیر اینصورت اگر در مجموعه اول عنصری باشد که از آن پیکانی خارج نشده باشد ،آن مجموعه تابع نیست.

پاسخ یه چند سوال

1-آیا رابطه ای که به افراد سن آنها را نسبت می دهد. یک تابع است؟

پاسخ : بله چون هر فردی در هر زمانی دارای سن منحصر به فردی است.

2-آیا رابطه ای که به افراد وزن آنها را نسبت می دهد تابع است؟

بله : تابع است .

در دو سوال بالا اگر بصورت نمودار ون در نظر بگیریم مجموعه اول زمان را نشان می دهد و در زمان ما تکرار نداریم.

3-آیا رابطه ای که به افراد غذای مورد علاقه آنها را نسبت می دهد تابع است؟

اگر هر فرد تنها یک غذا را به عنوان مورد علاق انتخاب کند ، بله این رابطه تابع است

اما اگر افراد بیش از یک غذا به عنوان غذای مورد علاقه انتخاب کنند ، خیر ، تابع نیست.

 

3-نمایش تابع به صورت نمودار مختصاتی :

هر خط که موازی محور y ها رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه باید قطع کند .

من این حالت را با چند مثال بررسی می کنم

[math]1)f(x) = {x^2}\\2)f(x) = {x^3}\\3)f(x) = \sqrt x \\[/math]

میخواهیم ببینیم آیا از نظر نموداری این سه عبارت داده شده بالا چرا تابع هستند .خوب من چند نقطه را بصورت جدولی و با استفاده از جایگزاری برای عبارات بالا در نظر می گیرم

[math] f(x) = {x^2}[/math]	[math]x[/math]
[math]0[/math]	[math]0[/math]
[math] \frac{1}{4} [/math]	[math] \pm \frac{1}{2} [/math]
[math]1[/math]	[math] \pm 1 [/math]
[math]4[/math]	[math] \pm 2 [/math]
[math]9[/math]	[math] \pm 3 [/math]

اکنون میخواهم داده های بالا را بصورت نمودار ون رسم کنم .

خوب همانطور که می بینید از دیدگاه نمودار ون ، این یک تابع است.، چون هر عضو از مجموعه اولی فقط یک پیکان خارج شده است.

[math] f(x) = {x^3}[/math]	[math]x[/math]
[math]0[/math]	[math]0[/math]
[math] \frac{1}{8} [/math]	[math] \frac{1}{2} [/math]
[math]1[/math]	[math] 1 [/math]
[math] – \frac{1}{8} [/math]	[math] – \frac{1}{2} [/math]
[math]-1[/math]	[math] – 1 [/math]
[math] – 8 [/math]	[math] – 2 [/math]

 

[math] f(x) = \sqrt x [/math]	[math]x[/math]
[math]0[/math]	[math]0[/math]
[math]1 [/math]	[math] 1 [/math]
[math] \sqrt 2 [/math]	[math] 2 [/math]
[math] \sqrt 3 [/math]	[math] 3 [/math]
[math]2[/math]	[math] 4 [/math]

 

اگر به نمودارهای آنها دقت کنید هر خطی که موازی محور y ها رسم کنیم نمودار آنها را فقط در یک نقطه قطع می کند .

اکنون میخواهیم ضابطه [math] {y^2} = x[/math]  را از نظر تابع بودن  بررسی کنیم . خوب من ابتدا سعی می کنم با استفاده از مقدار دهی آن را بررسی کنم .

[math] {y^2} = x [/math]	[math]x[/math]
[math]0[/math]	[math]0[/math]
[math] \pm 1 [/math]	[math] 1 [/math]
[math] \pm \sqrt 2  [/math]	[math] 2 [/math]
[math] \pm \sqrt 2  [/math]	[math] 3 [/math]
[math] \pm 2[/math]	[math] 4 [/math]

نمودار ون آن را رسم می کنیم

نمودار ون مشخصه که تابع نیست چون از هر عضو مجموعه اول دوتا پیکان خارج شده است ، حالا نمودار آن را هم در نظر می گیریم.

همانطور که نمودار تابع را در بالا می بیند هر خطی که موازی محور y  ها رسم کنیم نمودار را در بیش از یک نقطه قطع میکند  پس تابع نیست.

قبل از مطالعه بقیه مطلب بهتر است لینک زیر را مطالعه کنید

چرا باید تابع را بصورت ضابطه ریاضی تعریف کنیم ؟چه زمانی مجبور می شویم تابع را بصورت ضابطه ریاضی تعریف کنیم؟

4- تعریف تابع از دیدگاه ریاضی با ضابطه

اگر فرض کنیم A  و B  دو مجموعه  باشند آنگاه f  را تابعی از مجموعه A  به مجموعه B  می گویند .هر گاه به ازای هر عضو x  از مجموعه A  عضو منحصر به فردی مانند  y  از مجموعه B  نسبت داده شود . و چنانچه عضو y  منحصر به فرد نباشد ( تکراری باشد ) پس عنصر x  هم باید تکراری یا یکسان باشد و تابع را به صورت [math]y=f(x)[/math]  نمایش می دهیم .

[math]\[f:A \to B\][/math]

یعنی مجموعه A  در واقع ورودیهایی برای یک فرآیند هست که ما به آن می گوییم f و پس انجام عملهایی بر روی عناصر مجموعه A  آنگاه عناصر مجموعه B   را خروجی تابع می نامیم

در واقع رابطه زوج مرتب یک تابع بصورت (خروجی ،ورودی) است و به زبان ریاضی (x,f(x))  است.

 

الان چگونه می توان با بیان ریاضی تشخیص داد که یک ضابطه f  از A  به B  تابع است ؟

جواب آن به این شکل است . که اگر  f   یک ضابطه از A  به B  است . آنگاه خواهیم داشت :

[math] \left( {x,y} \right) [/math]   زوج مرتب متعلق به ضابطه f آنگاه باید[math] \left( {x,y’} \right) [/math]   زوج مرتب دیگری که باز هم متعلق به ضابطه f است .

اکنون از دو زوج مرتب بالا ، چون در هر دو زوج مرتب مولفه های اول یکسان هستند پس مولفه های دوم نیز باید یکسان باشند یعنی    [math] \[y = y’\][/math]

 

مثال 1 : آیا [math] y=2x+1[/math]   تابع است ؟

جواب : اگر [math](x,y) [/math]     زوج مرتب باشد آنگاه ضابطه ما همان           [math] y = 2x + 1[/math]

اگر [math] (x,y’) [/math]   زوج مرتب دیگری باشد آنگاه ضابطه ما          [math]  y’ = 2x + 1[/math]   خواهد بود

حالا چون در دو زوج مرتب بالا مولفه های اول یکسان هستند باید ثابت کنیم مولفه های دوم نیز یکسان هستند

پس داریم :

[math]\left\{ \begin{array}{l} y = 2x + 1 \to x = \frac{{y – 1}}{2} \\ y’ = 2x + 1 \to x = \frac{{y’ – 1}}{2} \\ \end{array} \right\} \\ \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{y’ – 1}}{2} \to y – 1 = y’ – 1 \Rightarrow y = y’ \\[/math]

پس ضابطه بالا تابع است .

مثال 2 : آیا ضابطه[math] {y^2} = 2x + 4[/math] تابع است ؟

جواب :

[math] \left\{ \begin{array}{l} (x,y) \to {y^2} = 2x + 4 \\ (x,y’) \to {{y’}^2} = 2x + 4 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

اگر  x  در هر دو زوج مرتب یکسان باشد از رابطه بالا داریم که

[math] \[{y^2} = {y’^2}\][/math]

اما  [math] y, y’ [/math]مساوی نیستند پس ضابطه بالا تابع نیست

 

جمع بندی و نتیجه گیری مطلب

شرایط تشخیص تابع بودن

1-نمودار ون : در نمودار ون اگر از یک عضو مجموعه اول بیش از یک پیکان خارج شده باشد آنگاه این نمودار تابع نیست در بقیه حالتها تابع است.به عبارتی دیگر از هر عضو مجموعه اول فقط و فقط یک پیکان خارج شود

2-زوج مرتب : در حالت زوج مرتب ، مولفه های اول نباید برابر باشند ، و در صورتی که مولفه های اول برابر باشند آنگاه  مولفه های دوم نیز باید برابر باشند.

3-نمودار مختصاتی : هر خط موازی محور عرضها (محور y ) نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند

4-نمایش با ضابطه : در یک ضابطه به فرم (y=f(x زمانی y  تابعی بر حسب x  است که به ازای هر x  تنها یک y  منحصر به فرد داشته باشیم یعنی اگر

[math] \[{x_1} = {x_2} \Rightarrow f({x_1}) = f({x_2})\][/math]

در مورد حالت ضابطه مثالهای بالا را مشاهده کنید.

%;”>

یادتون نره عضو گروه تلگرام و اینستگرام ما شوید با کلی تست های تحلیل و کنکوری عالی گام به گام به شما آموزش می دهیم . رفع اشکال کنید و مشکلات ریاضی را برطرف کنید

کلیک کن تا عضو گروه شوی

 

تمرینات حل شده بخش تعریف تابع

1-اگر [math]f={(1,5),(1,a-1),(2,1)}[/math]  یک تابع باشد ،مقدار a  را بدست آورید؟

2-در ضابطه های زیر بررسی کنید کدام یک تابع است؟

یاد آوری شرط تابع بودن ضابطه ها به صورت زیر است :

[math]{x_1} = {x_2} \Rightarrow f({x_1}) = f({x_2}) \\[/math]

ضابطه 1

[math]{y^3} + 2y + 1 + x = 0 \\ [/math]

ضابطه 2

[math]{y^2} = {x^2} + 1 \\[/math]

ضابطه 3

[math]x = {y^2}[/math]

ضابطه 4

[math]x = \sin y \\[/math]

3-اگر [math]f={(2,5),(3, {x^2}),(2,y+2),(3,4)}[/math]  یک تابع باشد ،مقدار x,y  را بدست آورید؟

4-کدام یک از نمودارهای زیر تابع است ؟

5-کدام یک از نمودارهای زیر تابع است ؟

پاسخ تمرینات بالا

 

در لینک زیر می توانید مطلب کامل بخش تابع را ببیند

 

دوست خوبم، جزوه ای داریم که شامل تمام چیزهایی است که برای موفقیت در فهم تابع به آن نیاز دارید. حتی اگر سطح شما صفر مطلق نیز باشد با مشاهده دروس را یاد میگیرید .شاید برایتان جالب باشد بدانید هزینه کلاس هر یک از این اساتید مطرح حدود ۲میلیون تومان و بعضا بیشتر است! ولی شما با هزینه حداقلی و با خرید این جزوه بی نیاز از کلاس کنکور و تقویتی و خصوصی می شوید! و نکته جالب تر اینکه در کنار تدریس جامع پربار، می توانید از استاد درس در مورد هر درسی سوالتان را از طریق فضای مجازی و واتس اب بپرسید .

به سایت جزوه های جامع ما مراجعه کنید

www.math2easy.ir

——
%;”>

یادتون نره عضو گروه تلگرام ما شوید با کلی تست های تحلیل و کنکوری عالی گام به گام به شما آموزش می دهیم . رفع اشکال کنید و مشکلات ریاضی را برطرف کنید

کلیک کن تا عضو گروه شوی