تساوی دو تابع
تساوی دو تابع
من ابتدا قبل از آنکه مفهوم ریاضی تساوی دو تابع را مطرح کنم ، ابتدا می خواهم به زبان ساده این مطلب را بررسی کنم .
فرض کنید [math]f(x),g(x)[/math] دو تابع باشند. ما می دانیم تابع ورودی و خروجی دارد ، مثلا [math]y=f(x)[/math] یعنی در اینجا [math]x[/math] ورودیهای تابع [math]f,g[/math] هستند که پس از فرآیندی خروجی [math]y[/math] بدست می آید. حالا اگر قراره دو تابع [math]f,g[/math] با هم برابر باشند یعنی باید به ازای هر ورودی ،خروجی یکسانی بدهند.
مطابق شکل بالا هر x که به [math]f,g[/math] داده می شود باید همان خروجی یکسان [math]y[/math] را بدهد .
مثال 1: فرض کنید [math] f(x) = {(x + 1)^2},g(x) = {x^2} + 2x + 1 [/math] باشد. خوب حالا امتحان می کنیم آیا دو تابع برابر هستند ؟
به ازای یک مقداری از x مثلا x=1 امتحان می کنیم.
[math]\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ f(x) = {(x + 1)^2} \end{array} \right\} \Rightarrow f(1) = {(1 + 1)^2} = {2^2} = 4\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ g(x) = {x^2} + 2x + 1 \end{array} \right\} \Rightarrow g(1) = {1^2} + 2(1) + 1 = 4 [/math]
هر مقدار دیگر از x را که امتحان کنیم باز خروجی مساوی خواهیم داشت پس این دو تابع با هم برابر هستند.
مثال 2: فرض کنید [math] f(x) = {x^2},g(x) = \frac{{{x^3}}}{x} [/math] باشد . خوب حالا امتحان می کنیم آیا دو تابع با هم برابر هستند؟
به ازای x=0 امتحان می کنیم.
[math] \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ f(x) = {x^2} \end{array} \right\} \Rightarrow f(0) = {0^2} = 0\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ g(x) = \frac{{{x^3}}}{x} \end{array} \right\} \Rightarrow g(0) = \frac{{{0^3}}}{0} = \frac{0}{0} [/math]
اینجا می بینیم که به ازای x=0 خروجیهای متفاوتی بدست آمد که می دانیم
[math] \frac{0}{0} [/math] غیر قابل قبول است پس این دو تابع با هم برابر نیستند.
تا اینجا روش ما بیشتر مبتنی بر آزمون و خطا بود . هدف اینکه گام به گام به مفهوم تساوی دو تابع آشنا شویم . اکنون وقت آن است که مفهوم ریاضی تساوی دو تابع را مطرح کنیم .
تساوی دو تابع
دو تابع [math]f(x),g(x)[/math] را مساوی یکدیگر می گوییم هر گاه دو شرط زیر به طور همزمان برقرار باشند:
1-دامنه تعریف دو تابع برابر باشند [math] {D_f} = {D_g} [/math]
2-به ازای هر x که متعلق ره دامنه آنها است ضابطه تابع با هم برابر باشند یعنی [math]f(x)=g(x)[/math]
مثال 3: دو تابع زیر آیا با هم برابر هستند ؟
[math] \left\{ \begin{array}{l} f:R \to R\\ f(x) = x + 2 \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} g:R – \{ 2\} \to R\\ g(x) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}} \end{array} \right\} [/math]
شاید در نگاه اول این دو تابع با هم برابر باشند چرا که اگر بخواهیم به صورت چند جمله ای ، عبارت g(x) را ساده کنیم خواهیم داشت :
[math] g(x) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}} = \frac{{(x – 2)(x + 2)}}{{x – 2}} = x + 2[/math]
ضابطه بدست آمده برای تابع g(x) با ضابطه تابع f(x) برابر شد . اما اگر دقت کنید وقتی صحبت از تابع می شود قبل از ساده کردن چند جمله ای ،باید ابتدا دامنه تابع را در نظر بگیریم برای همین ما اینجا با تابع g(x) سر و کار داریم و این تابع قبل از ساده کردن عبارت گویا دامنه اش برابر با [math]R-{2}[/math] بود ،چون که تابع به ازای x=2 مخرج آن صفر می شود و این تعریف نشده است. پس اینجا به دلیل نامساوی بودن دامنه ها این دو تابع با هم برابر نیستند.
مثال 4: تابع
[math] \left\{ \begin{array}{l} f:R \to R\\ f(x) = \sqrt {{x^2}} \end{array} \right\} [/math]
با کدام عبارت زیر برابر است ؟
الف)
[math] \left\{ \begin{array}{l} g:R \to R\\ g(x) = x \end{array} \right\} [/math]
ب)
[math] \left\{ \begin{array}{l} h:R \to R\\ h(x) = |x| \end{array} \right\} [/math]
ج)
[math] \left\{ \begin{array}{l} t:N \to R\\ t(x) = |x| \end{array} \right\} [/math]
د)
[math] \left\{ \begin{array}{l} p:R \to [0,\infty )\\ p(x) = |x| \end{array} \right\} [/math]
اینجا اولین چیزی که باید بدانیم تساوی دامنه ها است . دامنه تابع f برابر مجموعه اعداد حقیقی R است پس از میان گزینه های داده شده فقط گزینه الف و ب و د دارای این دامنه هستند .مرحله بعدی باید ببینیم هم دامنه تابع چیه .چون وقتی دو تابع برابر می شوند در واقع هم دامنه های آنها نیز باید برابر شوند . فقط گزینه الف و ب هستند که دارای هم دامنه مساوی هستند
حالا از میان الف و ب باید یکی را تشخیص دهیم ،خوب اکنون نوبت به ضابطه تابع است وما با استفاده از خصوصیات تابع قدر مطلق می دانیم که :
[math] \sqrt {{x^2}} = |x| [/math]
پس جواب صحیح ما گزینه ب است .
مثال 5: اگر دو تابع
[math] f(x) = \frac{7}{{x – 3}},g(x) = \frac{{ax + b}}{{{x^2} + cx + d}} [/math]
با هم برابر باشند ،مقادیر a,b,c,d را محاسبه کنید .
پاسخ:
دامنه تابع f کاملا مشخص هست و برابر [math]R-3[/math] یعنی تمام اعداد حقیقی منهای عدد 3 چون عدد 3 مخرج کسر را صفر می کند . اکنون با توجه به این دامنه ، باید دامنه تابع g نیز همان باشد یعنی عدد 3 باید ریشه مخرج را صفر کند .با توجه به اینکه مخرج توان 2 است و از طرف دیگر 3 باید صفر کننده مخرج باشد . پس باید مخرج تابع g به صورت [math] {(x – 3)^2} [/math]باشد :
[math] {x^2} + cx + d = {(x – 3)^2} = {x^2} – 6x + 9 \to \left\{ \begin{array}{l} c = – 6\\ d = 9 \end{array} \right\} [/math]
اکنون اگر مقادیر بدست آمده بالا را در تابع g قرار دهیم بصورت زیر خواهد شد :
[math]g(x) = \frac{{ax + b}}{{{x^2} – 6x + 9}} = \frac{{ax + b}}{{{{(x – 3)}^2}}} [/math]
که دامنه تابع g برابر همان دامنه تابع f یعنی [math]R-3[/math]خواهد بود .
حالا باید به ازای هر x هر دو تابع برابر باشند یعنی f را می توان بصورت زیر نوشت :
[math] f(x) = \frac{{7(x – 3)}}{{{{(x – 3)}^2}}} [/math]
حالا عبارت بالا برابر g بشود خواهیم داشت که :
[math] \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \frac{{7(x – 3)}}{{{{(x – 3)}^2}}}\\ g(x) = \frac{{ax + b}}{{{{(x – 3)}^2}}} \end{array} \right\} \to ax + b = 7(x – 3) = 7x – 21 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 7\\ b = – 21 \end{array} \right\} [/math]