تابع پوشا (پوششی)

 

 

1-تعریف تابع پوشا از دیدگاه نمودار ون : اگر دو مجموعه A  و B  را داشته باشیم که نموداری از مجموعه A  به مجموعه B  داشته باشیم ، آنگاه ما به این نمودار ، یک نمودار تابع پوشا می گوییم هرگاه که برای تمام اعضای مجموعه پایان (دوم B) پیکانهای ورودی داشته باشیم .

مثال 1: نمودار زیر نمایش دهنده یک تابع پوشا است .

 

 

مثال 2 : نمودار زیر نمایش دهنده تابعی است که پوشا نیست .چون در مجموعه دوم عضوی داریم که هیچ پیکانی به آن وارد نشده است .

 

مثال 3:نمودارهای زیر به تفکیک انواع توابع را نشان می دهند

از سمت چپ شروع می کنیم

1-نمودار اول فقط تابع معمولی است ، زیرا از هر عنصر مجموعه اول پیکانی به سمت مجموعه دوم خارج شده است اما مجموعه دوم عنصری دارد که هیچ پیکانی به آن وارد نشده پس این فقط یک تابع است اما یک به یک و پوشا نیست

2-نمودار دوم :یک به یک هست چون از هر عنصر مجموعه اول فقط یک عنصر به مجموعه دوم وارد شده ، اما چون همه عناصر مجموعه دوم را پوشش نداده پس پوشا نیست

3-نمودار سوم پوشا است اما یک به یک نیست چون تمام عناصر دوم را پوشش داده ،اما در مجموعه دوم برای یکی از عناصر بیش از یک پیکان وارد شده پس یک به یک نیست

4-یک به یک و پوشا است

2-تعریف تابع پوشا از دیدگاه ریاضی : اگر f  تابعی باشد از مجموعه A  به مجموعه B  هر گاه برد تابع با مجموعه B  برابر باشد ، این تابع یک تابع پوشا خواهد بود .یعنی :

[math] f:A \to B \Leftrightarrow {R_f} = B [/math]

به تعبیری دیگر تابع [math]f[/math] را پوشا می گوییم هر گاه به ازای هر [math] y \in B[/math] ، آنگاه [math]x[/math] ی متعلق به دامنه تابع وجود داشته باشد بطوریکه [math]y=f(x)[/math]

مثال 1 : آیا تابع [math] f(x) = {x^2}[/math]  از مجموعه R  به مجموعه R  تابع پوشا است ؟

 [math] y = {x^2} \to \sqrt y  = x[/math]

 

y  زمانی جواب دارد که [math]y>0[/math]  باشد یعنی برد تابع فقط اعداد بزرگتر از صفر است و این مساوی مجموعه R نیست پس تابع ما پوشا نیست .

 

نکته : تابع چند ضابطه ای زمانی تابع پوشا است که اجتماع برد تک تک ضابطه ها برابر مجموعه هم دامنه شود

 

مثال 2 : آیا تابع با ضابطه زیر پوشا است ؟

[math]\left\{ \begin{array}{l} f:R \to R \\f(x) = 3x + 2 + |x – 2| \\ \end{array} \right\} \\[/math]

اگر [math] x \ge 2[/math] انگاه

 

[math]f(x)=3x+2+x-2 =4x [/math]

اگر x<2   آنگاه

[math] f(x)=3x+2-x+2 =2x+4[/math]

پس تابع ما بصورت ضابطه زیر خواهد شد .

[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {4x} & {x \ge 2}  \\   {2x + 4} & {x < 2}  \\\end{array}} \right\} \\[/math]

اکنون برد تابع را در حالت اول بدست می آوریم

          [math] y = 4x \to x = \frac{1}{4}y[/math]

 

و چون  x  بزرگتر ومساوی 2 است پس y  بر اساس تغییرات مغیر x  بزرگتر یا مساوی 8 خواهد بود یعنی برد ما اعداد بزرگتر و مساوی 8 است .

[math] y \ge 8[/math]

 

اکنون در ضابطه دوم

[math] y = 2x + 4 \to x = \frac{1}{2}(y – 4)[/math]

 

در اینجا چون X<2  پس یعنی

[math]\frac{1}{2}(y – 4) < 2 \to y < 8[/math]

 

پس با توجه به دو مقدار مشخص شده در بالا ، خواهیم داشت برد تابع ما برابر است با

[math] ( – \infty ,8) \cup [8, + \infty ) = R[/math]

پس چون برد ما برابر با مجموعه پایان R  در تعریف تابع است پس تابع ما نیز پوشا است .

 

3-تشخیص پوشا بودن تابع از روی نمودار : برای تشخیص پوشا بودن تابع از روی نمودار آن ، باید خطی را موازی محور [math]x[/math] ها رسم کنیم این خط باید نمودار تابع را حداقل در یک نقطه قطع کند.

 

تمرینات بخش

1-آیا تابع زیر با ضابطه [math] f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}[/math] در [math]R[/math] پوشا است ؟

2-آیا تابع با ضابطه [math]f(x)=x-[x] [/math]  روی مجموعه [math]R[/math] پوشا است ؟

3-پوشا بودن تابع زیر با ضابطه داده شده را بررسی کنید .

[math]\left\{ \begin{array}{l} f:(2, + \infty ) \to R \\ f(x) = \log _3^{(x – 2)} \\ \end{array} \right\} \\[/math]

4-تابع با ضابطه زیر را از نظر پوشا بودن بررسی کنید.

[math]\left\{ \begin{array}{l} f:R \to z – \{ 0\}  \\ f(x) = \frac{1}{{[x – 1]}} \\ \end{array} \right\} \\[/math]

5-تابع با ضابطه زیر پوشا است ؟

[math]\left\{ \begin{array}{l} f:[0,\Pi ] \to [ – 1,1] \\ f(x) = {\cos ^4}\frac{x}{2} – {\sin ^4}\frac{x}{2} \\ \end{array} \right\} \\[/math]

برای دیدن پاسخ سوالات کلیک کنید

برای دیدن کلیه مطالب بخش تابع کلیک کنید