اعمال روی توابع

اگر f و g توابعی حقیقی با دامنه های [math]{D_f},{D_g}[/math]  باشند به کمک این دامنه ها می توانیم توابعی بصورت زیر ایجاد کنیم

جمع توابع

[math](f + g)(x) = f(x) + g(x)\\{D_{f + g}} = {D_f} \cap {D_g}[/math]

تفاضل دو تابع

[math](f – g)(x) = f(x) – g(x)\\{D_{f – g}} = {D_f} \cap {D_g}[/math]

ضرب توابع

[math](f .g)(x) = f(x). g(x)\\{D_{f . g}} = {D_f} \cap {D_g}[/math]

تقسیم دو تابع

[math](\frac{f}{g})(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\\{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} – \left\{ {x|g(x) = 0} \right\}[/math]

در تقسیم ابن نکته مهم است که مخرج نباید برابر صفر باشد

                                                                                                                          

نکته1 : دامنه توابع بالا عبارت است از اشتراک دامنه های هر دو تابع است ، فقط در تقسیم دامنه تابع عبارت است از اشتراک دو دامنه منهای مقادیری که مخرج برابر صفر می شود.

نکته 2:اعمال جبری فقط روی دامنه مشترک انجام می گیرد.

 

 

 اعمال توابع روی زوج های مرتب

اگر f,g دو تابعی باشند که به صورت زوج مرت داده شده باشند .اعمال جبری توابع را می توان بصورت زیر روی آنها انجام داد:

الف )برای ضرب و جمع و تقسیم و تفریق دو تابع به ازای مولفه های اول یکسان (دامنه یکسان) مولفه دوم را با هم جمع ،تفریق ،ضرب و یا تقسیم می کنیم (در حالت تقسیم مخرج باید مخالف صفر باشد)

ب)برای تشکیل عبارتی مانند [math]f+k[/math] کافیست به مولفه های دوم  زوج مرتب k واحد اضافه کنیم  بدون اینکه مولفه های اول را تغییر دهیم

ج) برای تشکیل [math]kf[/math] کافیست مولفه های دوم را در k ضرب کنیم بدون اینکه مولفه های اول را تغییر دهیم.

 

مثال 1:اگر [math]f= \left\{ {(2,3),(3,4),(0,1)} \right\} [/math]   و [math] g = \{ (2,5),( – 3,0)\}  [/math] آنگاه عبارتهای اعمال جبری روی این توابع را بدست آورید

ابتدا دامنه این توابع را بدست می آوریم .

[math]\left\{ \begin{array}{l} {D_f} = \{ 2,3,0\}  \\ {D_g} = \{ 2, – 3\}  \\ \end{array} \right\} \to {D_f} \cap {D_g} = \{ 2\}  \\[/math]

همانطور که می بینید اشتراک دامنه ها عدد 2 است پس  عملیات جبری را می توانیم فقط روی زوج مرتب هایی انجام دهیم مولفه اول آنها عدد 2 باشد.

[math]f + g = \{ (2,3 + 5)\}  = \{ (2,8)\}  \\ f – g = \{ (2,3 – 5)\}  = \{ (2, – 2)\}  \\ f \times g = \{ (2,5 \times 3)\}  = \{ (2,15)\}  \\ \frac{f}{g} = \{ (2,\frac{3}{5})\}  \\[/math]

مثال 2:توابع [math]f,g[/math] با ضابطه های زیر داده شده است . اعمال جبری روی این توابع را اعمال کنید.

[math]f(x) = \sqrt {1 – {x^2}}  \\ g(x) = \sqrt {x + 1}  \\[/math]

ابتدا دامنه توابع را محاسبه می کنیم و سپس اشتراک دامنه ها را نیز بدست می آوریم .

[math]{D_f} = 1 – {x^2} \ge 0 \to 1 \ge {x^2} \to  – 1 \le x \le 1 \\ {D_g} = x + 1 \ge  \to x \ge  – 1 \\ {D_f} \cap {D_g} =  – 1 \le x \le 1 = [ – 1,1] \\[/math]

چون دامنه دو تابع وجه اشتراک دارند پس می توان اعمال جبری روی این دو تابع اعمال کرد.

[math]f(x) + g(x) = \sqrt {1 – {x^2}}  + \sqrt {x + 1}  \\ f(x) – g(x) = \sqrt {1 – {x^2}}  + \sqrt {x + 1}  \\ f(x) \times g(x) = \sqrt {1 – {x^2}}  \times \sqrt {x + 1}  \\ \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\sqrt {1 – {x^2}} }}{{\sqrt {x + 1} }} \\[/math]

مثال 3:توابع با ضابطه زیر داده شده است اعمال جبری روی این توابع را بدست آورید.

[math]f(x) = \sqrt {x + 1}  \\ g(x) = \sqrt { – 1 – x}  \\[/math]

ابتدا دامنه هر دو تابع را بدست می آوریم و وجه اشتراک هر دو دامنه را نیز محاسبه می کنیم.

[math]{D_f} = x \ge  – 1 \\ {D_g} = x \le  – 1 \\[/math]

همانطور که می بینید دامنه هر دو تابع هیچ گونه وجه اشتراکی ندارند . در واقع اشتراک دامنه تابع f و تابع g برابر تهی است پس اعمال جبری روی این دو تابع امکان پذیر نیست.

مثال 4:اگر تابع

  [math] g = \left\{ {\left( {0,4} \right),\left( {3,2} \right),\left( {5,6} \right)} \right\},f(x) = \sqrt {x – 3} [/math]

دو تابع باشند آنگاه دامنه تابع   [math] \frac{f}{g} [/math]را حساب کنید.و سپس [math](2f+g)(5)[/math] را حساب کنید .

[math]{D_f} = x – 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 \Rightarrow {D_f} = [3, + \infty )\\{D_g} = \left\{ {0,3,5} \right\}\\{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} – \left\{ {x|g(x) = 0} \right\} = [3, + \infty ) \cap \left\{ {0,3,5} \right\} = \left\{ {3,5}\right\}[/math]

برای محاسبه [math](2f+g)(5)[/math]

[math](2f + g)(5) = \left\{ \begin{array}{l}2f(5) + g(5)\\\left( {5,6} \right) \in g \to g(5) = 6\end{array} \right\} = 2\sqrt {5 – 3}  + 6 = 2\sqrt 2  + 6[/math]

مثال 5:اگر

 [math] g(x) = {x^2} – 4x + 3,f = \left\{ {\left( {1,7} \right),\left( {3,4} \right),\left( {5,8} \right)} \right\} [/math]

باشند ، ضابطه تابع [math] \frac{f}{g} [/math] را بدست آورید.

ابتدا دامنه کسر را بدست می آوریم :

[math]{D_f} = \left\{ {1,3,5} \right\}\\{D_g} = R\\g(x) = 0 \to {x^2} – 4x + 3 = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right\}\\{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} – \left\{ {x|g(x) = 0} \right\} = \left\{ {1,3,5} \right\} – \left\{ {1,3} \right\} = \left\{ 5 \right\}[/math]

دامنه تابع یک عضوی است ، پس کافیست به ازای این تک عضو خروجی را نیز حساب کنیم تا تابع ما حساب شود پس داریم :

[math]\frac{f}{g}(5) = \frac{{f(5)}}{{g(5)}} = \frac{8}{{{5^2} – 4(5) + 3}} = \frac{8}{8} = 1 \Rightarrow \frac{f}{g} = \left\{ {\left( {5,1} \right)} \right\}[/math]

مثال 6: برای دو تابع

[math]g(x) = \frac{2}{{\sqrt {9 – {x^2}} }},f(x) = \left\{ {\left( { – 4,1} \right),\left( { – 2,5} \right),\left( {0,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {3,2} \right)} \right\}[/math]

مقدار [math] \frac{{f.g}}{{3 – f}} [/math] را حساب کنید.

ابتدا دامنه دو تابع را بدست می آوریم :

[math]{D_f} = \left\{ { – 4, – 2,0,1,3} \right\}\\{D_g} = 9 – {x^2} > 0 \Rightarrow  – {x^2} >  – 9 \to  – 3 < x < 3[/math]

دامنه تابع g را اگر بخواهیم بصورت زوج مرتب بنویسیم بصورت زیر خواهد بود

[math] {D_g} = \left\{ { – 2, – 1,0,1,2} \right\} [/math]

اکنون می توانیم تابع g را بر حسب زوج مرتب بنویسیم :

[math]g = \left\{ {\left( { – 2,\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right),\left( {0,\frac{2}{3}} \right),\left( {1,\frac{2}{{\sqrt 8 }}} \right)} \right\} = \left\{ {\left( { – 2,\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right),\left( {0,\frac{2}{3}} \right),\left( {1,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \right\}[/math]

 

اکنون باید اشتراک دو دامنه تابع f,g را حساب کنیم

[math] {D_f} \cap {D_g} = \left\{ { – 4, – 2,0,1,3} \right\} \cap \left\{ { – 2, – 1,0,1,2} \right\} = \left\{ { – 2,0,1} \right\} [/math]

اکنون با توجه به اشتراک دو دامنه می توانیم ضرب [math]f.g[/math] را حساب کنیم همانطور که در ابتدای مقاله گفتیم :

برای ضرب و جمع و تقسیم و تفریق دو تابع به ازای مولفه های اول یکسان (دامنه یکسان) مولفه دوم را با هم جمع ،تفریق ،ضرب و یا تقسیم می کنیم (در حالت تقسیم مخرج باید مخالف صفر باشد)

پس

[math]f.g = \left\{ {\left( { – 2,5} \right),\left( {0,3} \right),\left( {1,4} \right)} \right\} \times \left\{ {\left( { – 2,\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right),\left( {0,\frac{2}{3}} \right),\left( {1,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \right\}\\ = \left\{ {\left( { – 2,5 \times \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right),\left( {0,3 \times \frac{2}{3}} \right),\left( {1,4 \times \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \right\}\\= \left\{ {\left( { – 2,2\sqrt 5 } \right),\left( {0,2} \right),\left( {1,2\sqrt 2 } \right)} \right\}[/math]

اکنون ما صورت مخرج را حساب کردیم که f.g بود حالا باید مخرج را حساب کنیم که 3-f بود  باز اینجا بر اساس دامنه مشترک حساب می کنیم

[math]3 – f = 3 – \left\{ {\left( { – 2,5} \right),\left( {0,3} \right),\left( {1,4} \right)} \right\} = \left\{ {\left( { – 2,3 – 5} \right),\left( {0,3 – 3} \right),\left( {1,3 – 4} \right)} \right\}\\ = \left\{ {\left( { – 2, – 2} \right),\left( {0,0} \right),\left( {1, – 1} \right)} \right\}\\[/math]

اکنون رسیدیم به دو زوج مرتب که در صورت و مخرج زوجهای زیر را دارند:

[math]f.g = \left\{ {\left( { – 2,2\sqrt 5 } \right),\left( {0,2} \right),\left( {1,2\sqrt 2 } \right)} \right\}\\3 – f = \left\{ {\left( { – 2, – 2} \right),\left( {0,0} \right),\left( {1, – 1} \right)} \right\}[/math]

 

همانطور که در ابتدای مقاله گفتیم :

برای ضرب و جمع و تقسیم و تفریق دو تابع به ازای مولفه های اول یکسان (دامنه یکسان) مولفه دوم را با هم جمع ،تفریق ،ضرب و یا تقسیم می کنیم (در حالت تقسیم مخرج باید مخالف صفر باشد) پس داریم :

[math]\frac{{f.g}}{{3 – f}} = \left\{ {\left( { – 2, – \sqrt 5 } \right),\left( {1, – 2\sqrt 2 } \right)} \right\}[/math]

 

 

برای دیدن کل مطالب بخش تابع اینجا را کلیک کنید