تابع بخش دوم – دامنه و برد توابع
دامنه تابع
تعریف دامنه تابع : اگر A و B دو مجموعه اعداد باشند و f تابعی از A به B باشد ، مجموعه تمام مولفه های اول ، زوجهای مرتب (x,y) متعلق به تابع f را دامنه تابع می نامیم
مثال : در تابع {(f={(1,2),(2,3),(5,7 مجموعه {1,2,5} یعنی مجموعه مولفه های اول زوج مرتب را دامنه تابع می گوییم .
البته تعریف بالا زمانی کاربرد دارد که ما بتوانیم تابع را بصورت زوج های مرتب محدود نمایش دهیم . اما ، همیشه در ریاضی نمی توان چنین زوج های مرتب محدود داشت و ممکن است ما با تابعی مواجه شویم که دارای زوج های مرتب بی نهایت باشد . اینجاست که ما باید تعریف دیگری ارایه دهیم .
تعریف ریاضی و جامع دامنه تابع
اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد . به ازای تمامی اعضایی از مجموعه A که تابع ما معین و دارای جواب باشد ، دامنه تعریف تابع می گوییم .به تعبیری دیگر دامنه تابع ،مجموعه مقادیری است که تابع به ازای آنها تعریف شده و دارای جواب باشد.
قوانین محاسبه دامنه تابع
1-دامنه توابع کسری : دامنه توابع کسری ، در واقع مجموعه جواب تابع کسری است . یعنی تابع کسری زمانی جواب دارد که مخرج آن نامساوی صفر باشد .
مثال : دامنه تعریف تابع [math] \frac{{2x + 1}}{{4{x^2} + 3x + 1}}[/math] را بدست آورید ؟
برای حل این سوال ، ابتدا باید ریشه معادله درجه دوم مخرج را بدست آوریم .
در واقع دامنه این تابع ، تمام مقادیر R منهای مقادیری که ریشه مخرج را صفر می کند . پس داریم :
[math] 4{x^2} + 3x + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac \Rightarrow 9 – 16 = – 7 < 0[/math]
پس با توجه به اینکه [math] \Delta [/math] کوچکتر از صفر است ، یعنی این عبارت ریشه ندارد و در واقع هیچگاه برابر صفر نخواهد شد . پس جواب ما تمام مجموعه R است .
2-دامنه توابع رادیکالی با فرجه زوج : دامنه چنین تابعی برابر است با تمام مقادیری که به ازای آنها زیر رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر باشد .
مثال : دامنه تابع [math] \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + 1}}[/math]پیدا کنید .
ما در این مثال هم کسر داریم و هم رادیکال ، پس ابتدا باید محدودیت صورت کسر را مشخص کنیم چون رادیکال دارد .
در صورت کسر زیر رادیکال باید بزرگتر از صفر یا مساوی صفر باشد . یعنی [math] {\rm{x}} \ge 0[/math]اما در مخرج باید
[math] x\sqrt x + 1[/math]باید نامساوی صفر باشد و همچنین x بزرگتر یا مساوی صفر باشد ، با این حساب [math] x\sqrt x + 1[/math]همیشه مثبت خوهد بود بنابر این دامنه تابع برابر است با [math] {\rm{x}} \ge 0[/math]
3-دامنه توابع لگاریتمی : اگر ما تابعی بصورت [math] \log _{h(x)}^{g(x)}[/math] داشته باشیم که در آن [math]g(x) , h(x)[/math] هر دو تابع باشند ، آنگاه دامنه ما برابر است با مقادیری که
[math]g(x) , h(x)[/math] مثبت باشند و همچنین (h(x برابر یک نباشد .
مثال : دامنه تابع[math] \log _{}^{(\sqrt {x – 4} + \sqrt {6 – x} )}[/math] را بدست آورید .
این لگاریتم در مبنای 10 است پس شرط (h(x نامساوی یک برقرار است اما اکنون باید
[math] {\sqrt {x – 4} + \sqrt {6 – x} }[/math]
می دانیم هر دو با هم نمی توانند منفی باشند و همچنین هر دو با هم نمی توانند صفر باشند پس :
[math] \sqrt {x – 4} [/math] به ازای x ≥4و [math] \sqrt {6-x} [/math] به ازای [math]x \le 6[/math]
[/math] همیشه مثبت است پس مجموعه جواب ما
[math] 4 \le x \le 6[/math]است .
4-دامنه توابع رادیکالی با فرجه فرد :فرجه فرد شرطی را برای دامنه ایجاد نمی کند چرا که حتی اگر زیر رادیکال منفی باشد. به دلیل فرد بودن فرجه ممکن است جواب قابل قبول باشد.
نکات مهم دامنه
نکته 1:در توابع کسری(گویا) اگر صورت و مخرج قابل ساده شدن باشند نباید آن را ساده کنید بلکه باید با همان حالت خود ، دامنه اش را محاسبه کنید.
نکته2:اگر در توابع کسری ، کسر ما رادیکال با فرجه فرد بود ،اینجا رادیکال را فقط بزرگتر از صفر در نظر می گیریم و عبارت برابر صفر را حساب نمی کنیم چون مخرج یک کسر نمی تواند صفر باشد.
نکته3:در عبارتهای قدر مطلق ما علامت قدر مطلق را نادیده می گیریم و فقط دامنه عبارت را حساب می کنید.
نکته4:در توابع چند ضابطه ای کافیست دامنه توابع در هر شرط را جداگانه بدست آوریم و سپس از اجتماع همه دامنه ها ،دامنه تابع چند ضابطه ای بدست می آید.
————————————————————————–
تابع | فرم ریاضی تابع | دامنه تابع |
توابع چند جمله ای | [math]f(x)=ax^n+bx^{n-1}+….+c[/math] | [math]D_{f}=R[/math] |
توابع کسری که صورت و مخرج چند جمله ای باشند | [math]\frac{f(x)}{g(x)}[/math] | تمام اعداد حقیقی منهای ریشه مخرج |
توابع رادیکالی با فرجه زوج | [math]f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}[/math] | [math]g(x)\geq 0[/math]زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد |
توابع رادیکالی با فرجه فرد | [math]f(x)=\sqrt[2n+1]{g(x)}[/math] | دامنه به تابع زیر رادیکال بستگی دارد |
توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس | [math]f(x)=sinx ,cosx[/math] | [math]D_{f}=R[/math] تمام اعداد حقیقی |
توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس غیر ساده | [math]f(x)=sin(g(x)) ,cosx(g(x))[/math] | [math]D_{f}=D_{g}[/math] |
توابع مثلثاتی تانژانت | [math]f(x)=\tan(x)[/math] | [math]D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}| x\neq k\Pi+\frac{\Pi}{2} \right \}[/math] |
توابع مثلثاتی کتانژانت | [math]f(x)=\cot(x)[/math] | [math]D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}| x\neq k\Pi \right \}[/math] |
توابع مثلثاتی تانژانت غیر ساده یا مرکب | [math]f(x)=\tan(f(x))[/math] | [math]D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}| f(x)\neq k\Pi+\frac{\Pi}{2} \right \}[/math] |
توابع مثلثاتی کتانژانت مرکب | [math]f(x)=\cot(f(x))[/math] | [math]D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}| f(x)\neq k\Pi \right \}[/math] |
دامنه تابع قدر مطلق | [math]f(x)=|g(x)|[/math] | دامنه تابع با دامنه تابع داخل قدر مطلق برابر است |
دامنه تابع جزء صحیح | [math]f(x)=[g(x)][/math] | دامنه تابع با دامنه تابع داخل جزء صحیح برابر است |
دامنه تابع لگاریتم | [math]f(x)=f(x)=\log _{h(x)}^{g(x)}[/math] | [math]D_{f}=\left \{ x|g(x)> 0,h(x)>0,h(x)\neq 1 \right \}[/math] |
دامنه تابع نمایی | [math]f(x)=a^{g(x)}[/math] | [math]D_{f}=D_{g}[/math] |
تابع چند ضابطه ای | [math]f(x)=\begin{Bmatrix}g_{1}(x) & x\in D_{1}\\g_{2}(x) & x\in D_{2}\end{Bmatrix}\Rightarrow D_{f}=D_{1}\cup D_{2}[/math] | برابر با اجتماع دامنه های ضابطه ها است |
توابع کسری با مخرج رادیکالی به فرجه زوج | [math]f(x)=\frac{g(x)}{\sqrt[2n]{h(x)}}[/math] | [math]D_{f}=h(x)>0[/math] |
———————————————————————————————————————————————
تمرینات و سوالات امتحانی دامنه توابع
دامنه توابع زیر را بدست آورید.
1-[math] f(x) = \log (\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} )[/math]
2-[math] f(x) = \frac{{5x}}{{|x – 3| – 2}} [/math]سوال امتحانی درس حسابان سال 81 رشته ریاضی
3-[math]f(x) = \frac{{\sqrt {1 – x} }}{{\left[ x \right]}} [/math]نمونه سوال امتحانی خرداد 87 رشته ریاضی
4-[math]f(x) = \log \log \tan x [/math]
5-[math]f(x) = \sqrt {x + 1 + 2\sqrt {x + 1} } [/math]
6-[math] f(x) = \sqrt {1 – \sqrt {|x|} } [/math]
7-[math] f(x) = \frac{{\sqrt {[x] + 2} }}{{[x] + [ – x]}} [/math]
8-[math] f(x) = \sqrt { – {{\sin }^2}\pi [x]} [/math]
9-[math] f(x) = \sqrt {\log \frac{{5x – {x^2}}}{4}} [/math]
10-[math] f(x) = \sqrt {1 – \sqrt x } + \sqrt[3]{{x + 1}} [/math]
11-[math] f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{|[x]| – 1}} [/math]
برای دیدن پاسخ تشریخی تمرینات اینجا (جواب) کلیک کنید
برد تابع
در ریاضیات برد یک تابع برابر با مجموعه تمام خروجیهای تابع است . اگر تابع را به عنوان مجموعه ای از زوجهای مرتب در نظر بگیریم ، آنگاه تمام مولفه های دوم متعلق به زوج مرتب (x,y) را برد تابع می نامیم
مثال : در تابع {(f={(1,5),(7,9),(3,4 مجموعه { 5,9,4} تشکیل دهنده برد تابع است .
تعریف ریاضی و جامع برد توابع
برد توابع ، مانند دامنه توابع همیشه دارای زوج مرتب محدود نیست که ما بتوانیم به راحتی آنها را نمایش دهیم . لذا ما باید راه کاری جامع برای پیدا کردن برد توابع پیدا کنیم . اما متاسفانه برای پیدا کردن برد تابع راه حل کلی و جامع وجود ندارد . لذا ما در این مورد چند راهکار کلی را بررسی می کنییم
1-روش اول به کمک دامنه: در تابع (y=f(x اگر بتوانیم x را بر حسب y و به صورت (x=g(y بدست آوریم آنگاه دامنه تابع g برحسب متغیر y برابر با برد تابع f خواهد بود .
مثال 1: برد تابع [math] y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}[/math] را بدست آورید.
[math]y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}} \Rightarrow yx – 2y = x – 1 \Rightarrow yx – x = 2y – 1 \Rightarrow x(y – 1) = 2y – 1 \\x = \frac{{2y – 1}}{{y – 1}} \\[/math]
دامنه تابع بر حسب y برابر است با {R-{1 که در واقع همان برد تابع است .
مثال 2 : برد تابع [math] \sqrt {x – |x|} [/math] را بدست آورید ؟
[math] y = \sqrt {x – |x|} \Rightarrow {y^2} = x – |x|[/math]
با یک نگاه کلی متوجه می شویم که y باید همیشه بزرگتر از صفر باشد یعنی
[math] x \ge |x|[/math]
نامعادله فوق زمانی برقرار است که x≥0 در این صورت برد تابع برابر با {0} است .
روش دوم با رسم نمودار تابع :در این روش ما نمودار تابع را رسم می کنیم و از روی محور y ها می توان برد تابع را بدست آورد ،یعنی در واقع تغییرات نمودار تابع روی محور y ها بیانگر برد تابع است.
مثال : برد تابع [math] [y = {x^2} + 2[/math] را بدست آورید .
جواب : نمودار تابع را مطابق شکل زیر رسم می کنیم .
همانطور که از نمودار تابع می بینیم میزان تغییرات تابع روی محور y ها از عدد 2 به بالا می باشد پس برد تابع ما اعداد بزرگتر از 2 می باشد .پس ما یاد گرفتیم که با استفاده از رسم نمودار تابع می توانیم تصویر تغییرات تابع روی محور y ها را برای بدست آوردن برد تابع استفاده کرد.
3-روش سوم بدست آوردن تابع با استفاده از ماکزیمم و مینیمم : در این روش شما کافیست مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع را بدست آورید .
[math] \min f(x) \le f(x) \le \max f(x)[/math]
مثال : برد تابع [math] y = \sqrt {{x^2} – 1} [/math] را بدست آورید
جواب : همانطور که از شکل تابع پیداست ، این تابع زیر رادیکال باید همواره مثبت باشد و کمترین مقداری که می تواند بگیرد صفر است ،دامنه این تابع از عدد یک به بالا می باشد یعنی دامنه تابع اعداد بزرگتر از یک است پس کوچکترین عدد دامنه عدد یک است. پس اگر در تابع فوق عدد یک قرار دهیم کوچکترین مقدار تابع ما برابر صفر خواهد شد اما بزرگترین مقدار ما(ماکزیمم) برابر مثبت بی نهایت خواهد بود پس مینیمم تابع ما صفر و ماکزیمم تابع ما مثبت بی نهایت است .
[math] 0\le f(x) \le+ \infty [/math]
4-روش چهارم بدست آوردن برد تابع با استفاده از جدول تغییرات(با استفاده از مشتق و تعیین علامت) : در این روش ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را بدست می آوریم فاصله ای که از می نیمم مطلق تا ماکزیمم مطلق را برد تابع در نظر می گیریم .
مثال برد تابع [math] f(x) = {x^4} – 4{x^2} + 1 [/math] را بدست آورید
جواب :
[math]f'(x) = 4{x^3} – 8x = 0 \Rightarrow 4x({x^2} – 2) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm \sqrt 2[/math]
جدول تغییر متغیر بصورت زیر است :
همانطور که در شکل بالا می بینید مینیمم مطلق تابع برابر منفی 3 است و ماکزیمم مطلق برابر با مثبت بی نهایت پس برد تابع برابر است با بازه [math] [3, + \infty )[/math]
5-روش پنجم بدست آوردن برد تابع با استفاده از نامساوی مثلثاتی زیر:
[math] – \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} [/math]
مثال : برد تابع [math]y=2sinx+3cosx[/math] را بدست آورید .
[math] – \sqrt {{2^2} + {3^2}} \le 2\sin x + 3\cos x \le \sqrt {{2^2} + {3^2}} \to – \sqrt {13} \le y \le \sqrt {13} [/math]
سلام
من دقیق متوجه سوالتون نشدم اما چیزی که برداشت کردم اینه که یعنی این روش در ایران وجود داره یا نه؟ یا این مطلب رو میخواید؟!
content based یه روش تدریس هست که من تو وبلاگم گذاشتم و نمیدونم واقعا تو ایران این روش استفاده میشه یا نه؟!
موفق باشید
این روش در کشورهای خارجی تدریس میشود ، میخواستم بدانم شما در این زمینه اطلاعاتی دارید ؟
سلام
بله میتونید به لینک زیر مراجعه کنید:
(آموزش محتوا محور) Content-based instruction
http://ell.blogsky.com/1390/07/05/post-897
سلام
وب سایت خوب و مفیدی دارید این مناسب چه رده سنی و تحصیلی است؟
البته همه کس و همه رده نیاز دارند
من ریاضی دوست دارم اگر مایل باشید تبادل لینک کنیم
اگر شیمی بودید نه هرگز
با سلام
سایت من در شرایط فعلی مخاطبانی از دبیرستان دارد و بیشتر در مقطع دبیرستان است البته بعدها ان شا الله مخاطبان راهنمایی و دانشگاه را نیز شامل خواهد شد
امافعلا اولویت با دبیرستان است
لینک شما به سایت ما اضافه خواهد شد
با تشکر
سلام یه سوال ریاضی درام میتونم بپرسم؟
بله سوالاتتون را بفرستيد در صورت امکان و سعه وقت حتما پاسخ داده می شود
مر30
بسیار عالی بود …
ممنون …
عاالی بئئئووووووووووووووووووووووووووووووووووود
سلام استاد
میتونم در بعضی مسادل از شما کمک بگیرم ؟ 🙂
با سلام
در چه زمینه هایی کمک لازم دارید
در ریاضی 2 دیگه 🙂
میتونم روی کمک های شما حساب کنم ؟ 🙂
با سلام
چه کمکی
میشه ایمیلتون رو بدین عزیز ؟ 🙂
ایمیلهای ما در سایت هست
[email protected]
[email protected]
[email protected]
سلام عزیز
یه سوال از بخش سوم ریاضی 2 براتون ایمیل کردم
ممنون میشم علاوه بر حل یه توضیح کامل ( مفهوم ) این سوال رو هم بگید به من 🙂
پیشاپیش ممنونم
با عرض سلام
میخواهم که فرق دومین و رنج را در توابع ریاضی بدانم.
domain and range تابع یعنی دامنه تابع و برد تابع هستند
دامنه یعنی ورودیهای تابع اما رنج یا همان برد یعنی خروجیهای تابع
بنده فوق لیسانس ریاضی محض هستم ، اگه کاری از دستم بر میاد در خدمتم
دامنه توابع رادیکالی با فرجه فرد چه زمانی تمام اعداد حقیقی نمیشه؟
دامنه اعداد حقیقی با فرجه فرد همیشه برابر اعداد حقیقی هست اما باز هم بستگی به زیر رادیکال دارد در واقع ما در فرجه فرد دیگه کاری به خود رادیکال نداریم ما در فرجه فرد تنها با عبارت زیر رادیکال سروکار داریم لذا می توان گفت که در فرجه های فرد شما باید به عبارت زیر رادیکال دقت کنید و آن را تعیین دامنه کنید حالا ممکنه این عبارت کسری باشه و یا لگاریتم و یا مثلثاتی و هر چیز دیگه ، مبنای اصلی عبارت زیر رادیکال خواهد بود
با سلام. یک سوال داشتم. میخواستم بدونم اگر یک تابعی محدود باشد مثلا f(x)<a میتوانیم نتیجه بگیریم که مشتقش هم محدود است؟ و آیا حد بالای مشتق را میشود بدست آورد؟
خیر
ببین دوست عزیز شما تابع x^2 رو درنظر بگیرید دارای برد مثبت هست (محدود) ولی مشتقش که 2x باشه, دارای برد کلیه اعداد حقیقی هست.(نامحدود)
واقعا مرسی واقعا مطالب مفیدی داشتید خسته نباشید
سلام ببخشید الان دامنه ى 2xچی میشه ؟!
مجموعه اعداد حقیقی
عالی بود ممنون
Awli bud .lotfan mataalb ro saade tare konid.tnx
ممنون از اموزش هاتون
واقعا مفيد بود
باتشكّر
سلام .ممنون از سایت خوبتون .یه سوال داشتم اینکه اگه بخوایم جواب نامعادله رو به دست بیاریم و فرجه رادیکال فرد باشه باید فرجه رو در نظر بگیرم یا نه؟ و اینکه اگه جواب منفی باشه همه جا کاربرد داره؟
فرجه فرد تاثیر نداره فقط فرجه زوج هست که نتیجه را تغییر میده
سلام.ممنون از سایت خوبی که طراحی کردین.می خواستم بدونم بخش ریاضی عمومی 2 هم به سایت اضافه میشه؟چون کنکور ارشد اردیبهشت ماه برگزار میشه و ریاضی عمومی 1 شما هم واقعا کامل توضیح داده شده.اگر ریاضی عمومی 2 رو هم اضافه کنین خیلی خوبه.
با سلام ، درخواستها بسیار زیاد است ، هدف ما رضایت کاربران است اما به این زودیها نمی رسم برای ریاضی 2 مطالبی بنویسم
با عرض پوزش
ممنون که پاسخ دادین.فقط یه سوال دارم.جزواتی که قرار دادین برای کنکور ارشد رشته هایی مثل mba کافیه؟یا باید از کتاب های دیگه هم استفاده کرد؟